Question

w kulę o r=10 wpisano stożek, którego wysokość jest większa od promienia kuli. Wyznacz wzór funkcji przyporządkowującej promieniowi x podstawy stożka, jego V i określ dziedzinę. Wykorzystaj ten wzór do oblliczenia V stożka o promieniu podstawy = 5

Answer 1

Dane:   r = 10      (h >r)            V(x) = ?             V = ⅓ π x² h

 

Na podstawie rysunku w załączniku , z Δ BOS  wyznaczam h(x) :

   (h - r)² + x² = r²

   (h - 10)² + x² = 10²

    h² - 20h + 100 + x² - 100 = 0

    h² -20h + x² = 0

         Δ = 400 - 4x²

     √Δ = √[4(100-x²)] = 2√(100-x²)

   h₁ = (20 + 2√(100-x²) ) : 2 = 10 + √(100-x²)

   h₂ = (20 - 2√(100-x²) ) : 2 = 10 - √(100 -x²)           -   sprzeczne z zał., że h > 10

       Czyli    h = 10 + √(100-x²).

  V = ⅓πx²·(10 + √(100-x²)                              Dziedzina:

                                                                                 100 - x² > 0      ( nie ≥ 0, gdyż  z  zał. h>r)

                                                                                (10 -x)(10 +x) > 0

                                                                              10-x =0      10+x=0

                                                                                x=10         x=-10

                                                                       Wykres paraboli w załączniku, a z niego:

                                                                                 x ∈ (0, 10)   i  x > 0  (jako promień stożka)

                                                                           D = ( 0, 10)

  V(5) = ⅓π ·5² ·(10 + √(100-5²) ) = ²⁵/₃ π ·(10 + √75) = ²⁵/₃ (10 + 5√3) π = ¹²⁵/₃ (2 + √3)π