Question

Uzasadnij wzór

a)6+12+18+...+6n-3n(n+1)

b)4+10+16+...+(6n-2)=n(3n+1)

Ile początkiwych wyrazów ciągu arytmetycznego: -7,-5,-3,1,1... należy doda, aby otrzymana suma była większa od 200?

Answer 1

a)

6 + 12 + 18 + ... + 6n = 3n*(n +1)

Jest to ciąg arytmetyczny:

a1 = 6

r = 6

an = 6n

zatem

Sn = o,5*[a1 +an]*n = 0,5*[6 + 6n]*n = (3 + 3n)*n = 3*(1 + n)*n = 3n*(n +1)

=================================================================

b)

4 + 10 + 16 + ... +(6n - 2) = n*( 3n + 1)

Jest to ciąg arytmetyczny:

a1 = 4

r = 6

an = 6n - 2

zatem

Sn =0,5*[a1 +  an]*n =0,5*[4 +6n - 2] *n = [1 + 3n]*n = n*(3n + 1)

============================================================

c)

-7,-5,-3,-1,1, ...

a1 = - 7

r = -5 -(-7) = -5 +7 = 2

an = a1 + (n-1)*r = -7 +(n-1)*2 = - 7 + 2n - 2 = 2n - 9

an = 2n - 9

-------------

Sn = 0,5*[a1 + an]*n = 0,5*[ - 7  + 2n - 9]*n = [2n - 16]*n

Sn = 0,5*(2n - 16)*n

Sn = (n - 8)*n

============

czyli

(n - 8)*n > 200

n^2 - 8n - 200 > 0

------------------------------

delta = 64 - 4*1*(-200) = 64 + 800 = 864= 144 *6

p ( delty ) = 12 p(6)

n1 = [ 8 - 12 p(6)]/2 = 4 - 6 p(6) < 0

n2 = [ 8 + 12 p(6)]/2 = 4 + 6 p(6)

n2 = 4 + 14,7 = 18,7  ( w przybliżeniu do 1 )

n = 1 > 0

zatem n^2 - 8n - 200 > 0  dla n > n2

Odp. n = 19

Trzeba dodać  19 wyrazów tego ciągu, aby otrzymać liczbę  większą od 200.

================================================================

spr.

S19 = ( 19 -8)*19 = 11*19 = 209 > 200

---------------------------------------------------------------------------