Question

Wyznasz wartość najmniejszą i największą funkci w podanym przedziale.

a) f(x)=x² -2x+5, <0;3>
b) f(x)=3x² -6x+1/4, <0;4>
c) f(x)=-x² +8x+1, <-3;3>
d) f(x)=-5x² -20x+4, <-4;-1>
e) f(x)=x² +2x-x, <-1;1>
f) f(x)=0,1x² +0,1x+5, <1;10>

Answer 1

A)
f(x) = x² -2x + 5
< 0; 3>
a = 1 > 0
Δ =(-2)² -4*1*5 = 4 - 20 = -16 < 0 - f nie ma miejsc zerowych
p = 2/2 = 1
q = f(p) = 1-2*1 +5 = 4 - najmniejsza wartość funkcji w < 0; 3>
Ponieważ f maleje w <0 ; 1) , a rośnie w (1: 3) zatem największej
wartości f należy szukać dla x = 0 oraz x = 3
f(0) = 5 , a f(3) = 3² -2*3 + 5 = 9 - 6 + 5 = 8
Odp. Najmniejszą wartość tej funkcji w przedziale domkniętym
< 0; 3> to 4, a największa to 8.
b)
f(x) = 3x² - 6x + 1/4
< 0 ; 4 >
a = 3 > 0
Δ = (-6)² -4*3*(1/4) = 36 - 3 = 33 > 0 - dwa miejsca zerowe
p = -b/(2a) = 6/6 = 1
q = f(p) = f(1) = 3*1² -6*1 + 1/4 = -3 + 1/4 = -2,75
-2,75 - najmniejsza wartość tej funkcji w < 0; 4>
f maleje w <0; 1) , a rośnie w (1 ; 4>
f(0) = 1/4 oraz f(4) = 3*4² -6*4 +1/4 = 48 - 24 =1/4 = 24,25, zatem największa wartość f w <0; 4> to 24,25.
c)
f(x) = -x² + 8x + 1
< -3 ; 3 >
a = -1 < 0
Δ = 8² - 4*(-1)*1 = 64 +4 = 68 > 0 , f ma dwa miejsca zerowe
p = -b/(2a) = -8/ (-2) = 4 ∉ < -3; 3 >
Ponieważ f osiąga maksimum dla x = 4 > 3, zatem f rośnie
w całym przedziale <-3; 3>
f(-3) = - (-3)² + 8*(-3) +1 = -9 - 24 + 1 = -32 - najmniejsza
wartość f w < -3; 3>
f(3) = -3² + 8*3 + 1 = -9 + 24 + 1 = 16 - największa wartość
f w < -3 ; 3 >
d, e, f - rozwiązuje się podobnie.