Question

Uzasadnij, że dla żadnej liczby naturalnej n liczba nie jest podzielna przez 3.

Answer 1

Zauważasz pierw, że:


Teraz istnieją dwa przypadki:
n(n+1)  to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych, może się zdarzyć tak, że jedna z nich jest podzielna przez 3, wówczas iloczyn n(n+1) jest podzielny przez 3, ale jeśli dodamy dwójkę to n(n+1)+2  nie będzie podzielny przez 3 (przy dzieleniu na 3 da resztę 2)  co należało wykazać.

Drugi przypadek  to taki żę ani "n" ani "n+1"  nie są podzilene przez 3. 
Oznacza to że muszą się znaleźć pomiędzy dwoma podzielnymi liczbami przez 3 (np.  pomiędzy 3 i 6  jest  4,5   albo pomiędzy 18 i 21  jest 19 i 20) 

Jedna z liczb przy dzieleniu przez 3 daje reszty 1 
druga -  daje reszty 2 
Zatem ich iloczyn n(n+1)  przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1*2=2 
natomiast wyrażenie n(n+1) + 2  przy dzieleniu przez 3 daję resztę 2+2=4  
a 4 : 3 = 1  reszty 1 .
Zatem daje reszty 1 = nie jest podzielne przez 3, co należało wykazać