Uzasadnij, że jeśli liczba naturalna n nie jest podzielna przez 5, to jedna z liczb jest podzielna .... Question from @Anula159

December 2018 1 990 Report

Uzasadnij, że jeśli liczba naturalna n nie jest podzielna przez 5, to jedna z liczb $n^{2} - 1 lub n^{2} + 1$ jest podzielna przez 5.

MrPolygon Liczbę naturalną podzielną przez 5 możemy zapisać tak:
$n=5k$
czyli "pięć razy dowolny czynnik całkowity".

Jeśli liczba nie jest podzielna przez 5, to znaczy, że przy dzieleniu przez 5 daje resztę. Ta reszta może być równa 1, 2, 3 albo 4, co zapisujemy tak:

$n=5k+1\\n=5k+2\\n=5k+3\\n=5k+4$

W każdym z tych czterech przypadków sprawdzamy warunek z treści zadania:
$n=5k+1\\n^2=(5k+1)^2\\n^2=25k^2+10k+1\\n^2-1=25k^2+10k\\n^2-1=5\cdot(5k^2+2k)\\n^2-1=5m$

Jeśli liczba n przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, to liczba $n^2-1$ dzieli się przez 5.

$\rule{10cm}{1pt}$

$n=5k+2\\n^2=(5k+2)^2\\n^2=25k^2+20k+4\\n^2+1=25k^2+20k+5\\n^2+1=5\cdot(5k^2+4k+1)\\n^2+1=5m$

Jeśli liczba n przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2, to liczba $n^2+1$ dzieli się przez 5.

$\rule{10cm}{1pt}$

$n=5k+3\\n^2=(5k+3)^2\\n^2=25k^2+30k+9\\n^2+1=25k^2+30k+10\\n^2+1=5\cdot(5k^2+6k+10)\\n^2+1=5m$

Jeśli liczba n przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to liczba $n^2+1$ dzieli się przez 5.

$\rule{10cm}{1pt}$

$n=5k+4\\n^2=(5k+4)^2\\n^2=25k^2+40k+16\\n^2-1=25k^2+40k+15\\n^2-1=5\cdot(5k^2+8k+3)\\n^2-1=5m$

Jeśli liczba n przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, to liczba $n^2-1$ dzieli się przez 5.

Sprawdziliśmy wszystkie przypadki i w każdym z nich liczba dzieliła się przez 5, tak więc rozumowanie zostało zakończone. $\Box$

6 votes Thanks 10