A)Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba jest całkowita. b)Uzasadnij, że dla każdej ni.... Question from @Anula159

December 2018 1 28 Report

A)Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba $\frac{n^{4}}{4} + \frac{n^{3}}{2} + \frac{n^{2}}{4}$ jest całkowita.
b)Uzasadnij, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba $\frac{ n^{3} }{8} - \frac{n}{8}$ jest całkowita.

konrad509 $\dfrac{n^4}{4}+\dfrac{n^3}{2}+\dfrac{n^2}{4}=\\

\dfrac{n^4+n^2}{4}+\dfrac{2n^3}{4}=\\

\dfrac{n^4+2n^3+n^2}{4}=\\

\dfrac{n^2(n^2+2n+1)}{4}=\\

\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}
$

W liczniku jest iloczyn kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych. Jedna z tych liczb jest podzielna przez 2. Skoro jest podzielna przez 2, to jej kwadrat jest podzielny przez 2² czyli przez 4. Zatem jeżeli ta liczba jest podzielna przez 4 to skróci się ona z czwórką z mianownika i powstała liczba będzie liczbą całkowitą.

$\dfrac{n^3}{8}-\dfrac{n}{8}=\\
\dfrac{n^3-n}{8}=\\
\dfrac{n(n^2-1)}{8}=\\
\dfrac{n(n-1)(n+1)}{8}=\\
\dfrac{(n-1)n(n+1)}{8}\\\\
n=2k+1\\
\dfrac{(2k+1-1)(2k+1)(2k+1+1)}{8}=\\
\dfrac{2k(2k+1)(2k+2)}{8}=\\
\dfrac{4k(2k+1)(k+1)}{8}=\\
\dfrac{k(2k+1)(k+1)}{2}=\\
\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{2}$

Bardzo podobnie jak w poprzednim przykładzie.
Iloczyn $k(k+1)$ jest iloczynem kolejnych dwóch liczb naturalnych, a więc jedna z tych liczb jest podzielna przez 2. Skróci się ona zatem z dwójką z mianownika i powstała liczba będzie liczbą całkowitą.

6 votes Thanks 9

Uzasadnij, że dla żadnej liczby naturalnej n liczba nie jest podzielna przez 3.

Uzasadnij, że jeśli liczba naturalna n nie jest podzielna przez 5, to jedna z liczb jest podzielna przez 5.

Oblicz cos2 (dwa nie kwadrat) alfa wiedząc, że tg alfa=3/2.Proszę o ładne rozpisanie :)

Podaj trzy argumenty za tym, że katastrofa giblartarska to zamach i trzy, że to katastrofa.Liczę na szybką pomoc :)

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social