Question

Udowodnij, że stosunek pola koła opisanego na trójkącie równobocznym do pola koła wpisanego w ten trójkąt nie zależy od długości jego boku.

Answer 1

Udowodnij, że stosunek pola koła opisanego na trójkącie równobocznym do pola koła wpisanego w ten trójkąt nie zależy od długości jego boku.

Answer 2

Pole koła P₁ opisanego na trójkącie równobocznym ma promień
R, który jest równy ⅔ wysokości h trójkąta równobocznego,
R = ⅔h, pole koła P₁ = πR² = π(⅔h)²
Pole koła P₂ wpisanego w trójkąt równoboczny ma promień r, który jest równy ⅓ wysokości h trójkąta równobocznego,
r = ⅓h, pole koła P₂ = πr² = π(⅓h)²
Stosunek pola koła opisanego na trójkącie równobocznym
do pola koła wpisanego w ten trójkąt jest równy:
P₁/P₂ = πR²/πr² = R²/r² = (R/r)² = (⅔h:⅓h)²
P₁/P₂ = (⅔ : ⅓)²= (⅔*³/₁)² = 2² = 4
Odp. Stosunek pola koła opisanego na trójkącie równobocznym
do pola koła wpisanego w ten trójkąt jest zawsze równy 4
i dlatego nie zależy on od długości boku tego trójkąta.