Question

Udowodnij, że stosunek pola koła opisanego na trójkącie równobocznym do pola koła wpisanego w ten trójkąt nie zależy od długości jego boku.

Answer 1

R - promień koła opisanego na trójkącie równobocznym
r - promień koła wpisanego w trójkąt równoboczny
a - długość boku trójkąta równobocznego
h - wysokość trójkąta równobocznego
Po - pole koła opisanego
Pw - pole koła wpisanego


h = a√3/2
R = ⅔*h = ⅔ * a√3/2 = a√3/3
r = ⅓*h = ⅓ * a√3/2 = a√3/6

Po = πR²
Po = π(a√3/3)² = πa² * 3 / 9 = 3πa²/9
Pw = πr²
Pw = π(a√3/6)² = πa² * 3 / 36 = 3πa²/36

Po / Pw = 3πa²/9 : 3πa²/36 = 3πa²/9 * 36/3πa² = 4

Stosunek pola koła opisanego na trójkącie równobocznym do pola koła wpisanego jest stały i wynosi 4, czyli nie zależy od długości jego boku