Question

Udowodnij że istnieje trapez prostokątny którego długości kolejnych boków tworzą ciąg
geometryczny o ilorazie q≠1

Answer 1

Dla q=1 każdy kwadrat o boku a jest trapezem prostokąnym.
Dla q≠1.
x i y podstawy, h wysokość, c ramie trapezu.
* Niech:
h=a
x=aq
c=aq²
y=aq³  , a>0 i q≠1.
Z trojkata prostokatnego mamy:  (rysunek w zalaczniku)
a²+(aq³-aq)²=a²q² /:a²
1+q⁶-2q⁴+q²=q²
q⁶-q⁴+1=0
q³=p
p²-p+1=0
Δ=1-4=-3<0 ⇒ nie ma rozwiazan.
** Niech:
h=a
x=aq²
c=aq
y=aq³
a²+(aq³-aq²)²=(aq)²  /:a²
1+q⁶-2q⁵+q⁴=q²
q⁶-2q⁵+q⁴-q²+1=0
q⁵(q-1)-q⁴(q-1)-q(q-1)-(q-1)=0
(q-1)*(q⁵-q⁴-q-1)=0 ,  q=1∉D
Nalezy pokazać, że II nawias ma miejsce zerowe q≠1 i q>0.
Dla q=1
1-1-1-1=-2<0
Dla q=2
32-16-2-1=13>0
Z wlasnosci Darboux istnieje miejsce zerowe q∈(1,2), 
co należało udowodnić.