Wyznacz wszystkie wartości parametru p dla których funkcja nie ma ekstremum g(x)=1/3(p^2+4p-5)x^3-(p.... Question from @Olus135

loitzl9006 Żeby funkcja g(x) nie miała ekstremum to jej pochodna g'(x) musi przyjmować:
1. wyłącznie wartości niedodatnie
bądź
2. wyłącznie wartości nieujemne
czyli liczymy pochodną a potem robimy te dwa przypadki z których wyjdą nam przedziały które później łączymy znakiem sumy $\cup$
$g(x)=\frac13(p^2+4p-5)x^3-(p-1)x^2+(p+1)x+2p^2-7\\ g'(x)=\frac13(p^2+4p-5)\cdot3x^2-(p-1)\cdot2x+p+1\\ g'(x)=(p^2+4p-5)x^2-2(p-1)x+p+1$

Ad. 1)
$g'(x)=(p^2+4p-5)x^2-2(p-1)x+p+1\\ \left \{ {{a\ \textgreater \ 0} \atop {\Delta\le0}} \right. \\ a\ \textgreater \ 0\iff p^2+4p-5\ \textgreater \ 0\\ \Delta_p=16-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36\ \to \ \sqrt{\Delta_p}=6\\ p_1=\frac{-4-6}2=-5, \ \ p_2=\frac{-4+6}2=1\\ p\in(-\infty,-5)\cup(1,+\infty)\\ \Delta\le0\iff (-2(p-1))^2-4\cdot(p^2+4p-5)\cdot(p+1)=\\ =4(p^2-2p+1)-4(p^3+p^2+4p^2+4p-5p-5)=\\ =4p^2-8p+4-4p^3-20p^2+4p+20=\\ =-4p^3-16p^2-4p+24\le0\ \ \ \ \ |:(-4)\\ p^3+4p^2+p-6\ge0\\ p^3-p^2+5p^2-5p+6p-6\ge0\\ p^2(p-1)+5p(p-1)+6(p-1)\ge0$
$(\underbrace{p^2+5p+6}_{\Delta=1, p_1=-3, \ p_2=-1})(p-1)\ge0\\ (p+3)(p+1)(p-1)\ge0\\ p\in\langle-3,-1\rangle\cup\langle1,+\infty)$

zatem z podpunktu 1) dostajemy
$p\in(1,+\infty)$

Ad. 2)
$\left \{ {{a\ \textless \ 0} \atop {\Delta\le0}} \right. \\ a\ \textless \ 0\iff\ p\in(-5,1)\\ \Delta\le0\iff p\in(-\infty,-3\rangle\cup\langle-1,+\infty)$

z podpunktu 2 dostajemy
$p\in(-5,-3\rangle$

suma przedziałów z podpunktów 1 i 2 to
$p\in(-5,-3\rangle\cup(1,+\infty)$

jeszcze warto się zastanowić co się dzieje gdy pochodna funkcji g(x) nie jest funkcją kwadratową
$g'(x)=(p^2+4p-5)x^2-2(p-1)x+p+1\\ p^2+4p-5=0\\ p_1=-5, \ \ \ p_2=1$
gdy $p=-5$ to pochodna jest postaci
$g'(x)=12x-4$ co oznacza że pochodna nie jest ani stale dodatnia, ani stale ujemna
gdy $p=1$ to w pochodnej g'(x) znika nam zarówno wyraz z x^2, jak i wyraz z x:
$g'(x)=(p^2+4p-5)x^2-2(p-1)x+p+1 \ \ \ \to \ (p=1)\\ g'(x)=2$
oznacza to że pochodna jest stała (stale dodatnia) więc także dla p=1 funkcja g(x) nie ma ekstremów

i ostateczna (wg mnie) odpowiedź do zadania to

$\boxed{p\in(-5,-3\rangle\cup\langle1,+\infty)}$

1 votes Thanks 0

wik8947201 Funkcja nie ma ekstremum, gdy:
1. f'(x)≠0 (warunek konieczny istnienia ekstremum nie jest spelniony)
2.f'(x)=0 i f''(x)=0 (warunek dostateczny nie jest spelniony)
1.
g'(x)=(p²+4p-5)x²-2(p-1)x+p+1
Δ=4(p-1)²-4(p+1)(p²+4p-5)<0
4(p²-2p+1)-(4p+4)(p²+4p-5)<0
4p²-8p+4-4p³-16p²+20p-4p²-16p+20<0
-4p³-16p²-4p+24<0 /:(-4)
p³+4p²+p-6<0
p²(p-1)+5p(p-1)+6(p-1)<0
(p-1)(p²+5p+6)<0
(p-1)(p+2)(p+3)<0
p∈(-3,-2)u(1,+∞)
2.
Sprawdzam f''(x)
f''(x)=2(p²+4p-5)-2(p-1)
f''(-3)=2*(9-12-5)-2*(-4)=-16+8≠0 istnieje extremum
f''(-2)=2*(4-8-5)-2*(-3)=-18+6≠0 istnieje extremum
f''(1)=2*0-2*0=0 nie istnieje ekstremum.
Odp. p∈(-3,-2) u <1,+∞)

1 votes Thanks 3

Lim x do - ∞ z wytłumaczeniem

Oblicz granicę lim x do -∞ proszę z wytłumaczeniem

Dla jakich wartości parametru m równanie (2m-1)x^2 +4(m+1)x +m=0 ma dwa różne pierwiastki x1 x2 które spełniają nierówność

Napisz wzór funkcji f która długości ramienia trójkąta równoramiennego o obwodzie 16 przyporządkowuje wysokość opuszczona na podstawę trójkąta. wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji oraz naszkicuj jej wykres

Wyznacz wszystkie wartości parametru k dla których równanie w(x)=x^3+(2k-1)x^2+(5-2k)x-5 ma trzy różne pierwiastki których suma jest mniejsza od 13

Środkowe AK i BL trójkąta ABC przecinają się w punkcie N. Wierzchołek C leży na okręgu przechodzącym przez punkty K,L,N. Oblicz długość środkowej CM wiedząc że AB=c

Wyznacz dziedzinę funkcji f(x)= I x - pi/2 I - wartość bezwzględna

Dany jest kąt ostry alfa taki, że Oblicz sin 2alfa

Uzasadnij, ze istnieje trapez prostokątny, którego dlugości kolejnych boków tworzą ciąg geometryczny o ilorazie: q różne od 1

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social