Question

Środkowe AK i BL trójkąta ABC przecinają się w punkcie N. Wierzchołek C leży na okręgu przechodzącym przez punkty K,L,N. Oblicz długość środkowej CM wiedząc że AB=c

Answer 1

Przyjmijmy oznaczenia pomocnicze jak na rysunku
(AC = 2x)
(BC = 2y)
(AK = 3m)
(BL = 3n)

Oczywiście przy oznaczaniu korzystamy z tego, że środkowe przecinają się w stosunku 2:1.
Poprowadźmy prostą równoległą do CN przez K.
Niech P będzie punktem przecięcia z BL.
Dodatkowo zauważamy, że KP jest środkową trójkąta KNB (wynika to z tw.Talesa do trójkąta CNB i prostej KP).
Jako, że C, K, L, N leżą na jednym okręgu mamy, że
a zatem kąt
Niech "z" będzie długością trzeciej środkowej.

Zatem także
Korzystamy z twierdzenia o długościach odcinków siecznych do prostych AC i AK oraz do BL i BC
mamy zatem
oraz
A stąd mamy i
Jako, że KP był odcinkiem łączącym środki boków NP = n
Rrójkąty ABC i KNP są podobne z cechy bkb, w skali
A więc a stąd wyznaczamy