Question

Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej nieparzystej i niepodzielnej przez 5 istnieje liczba naturalna podzielna przez , w której zapisie dziesiętnym występują tylko dziewiątki.

Answer 1

Najprościej będzie skorzystać z twierdzenia Eulera o liczbach względnie pierwszych, które mówi, że jeżeli liczby n i a są względnie pierwsze, to liczba  jest podzielna przez n (przy czym φ(n) oznacza ilość liczb naturalnych mniejszych od n, które są z n względnie pierwsze).

W naszym zadaniu wystarczy podstawić a=10, gdyż n jest nieparzysta i niepodzielna przez 5, więc a i n są faktycznie względnie pierwsze. Wtedy



jest naszą poszukiwaną liczbą, zapisaną samymi dziewiątkami i podzielną przez n.



Inny sposób. Jeśli n=1, to sprawa jest jasna - szukaną liczbą jest choćby 9.

Załóżmy więc, że n>1. Skoro liczba n nie dzieli się ani przez 2, ani przez 5, to oznacza, że ułamek  ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe. Wykażemy najpierw, że w rozwinięciu tym okres zaczyna się bezpośrednio po przecinku.

Weźmy jakąś liczbą naturalną m, której rozkład na czynniki pierwsze wygląda tak:
,
gdzie k to iloczyn liczb pierwszych różnych od 2 i 5. Wówczas:



q to iloczyn odpowiedniej ilości dwójek lub piątek, przez który trzeba rozszerzyć ułamek, aby w mianowniku miał pełną potęgę dziesiątki. Ułamki  i  są nieskracalne i mają rozwinięcie dziesiętne okresowe. To oznacza, że aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne ułamka , należy w rozwinięciu dziesiętnym ułamka  przesunąć przecinek o  miejsc w lewo, co spowoduje, że pomiędzy okresem a przecinkiem faktycznie pojawią się jakieś dodatkowe cyfry.

Zatem w rozwinięciu ułamków  i  nie będzie żadnych cyfr między przecinkiem a okresem, gdyż w rozkładzie mianownika k na czynniki nie ma ani dwójek, ani piątek (które powodowałyby przesunięcie przecinka od okresu w lewo).

Wracając do zadania - niech okresem ułamka  będzie c-cyfrowa liczba p. Wtedy mamy:


Czyli:



Wniosek: liczba  jest właśnie tą szukaną liczbą, która jest zapisana samymi dziewiątkami i która dzieli się przez n (a wynikiem takiego dzielenia jest właśnie p). q.e.d.