Question

Udowodnić, że zbiór wszystkich ciągów nieskończonych których wyrazami są liczby
1, 2, 3 lub 4, jest nieprzeliczalny.

Answer 1

Dowolną liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ciągu (niekoniecznie skończonego) złożonego z cyfr 0-9. Ale nie musimy używać systemu dziesiętnego - możemy użyć systemu o dowolnej podstawie np. 3. Wtedy każdą liczbę rzeczywistą utożsamiamy z nieskończonym ciągiem o wyrazach ze zbioru {0,1,2,3}. Wystarczy teraz każdą cyfrę powiększyć o 1 żeby pokazać równoliczność zbioru ciągów o wyrazach równych 1,2,3 lub 4 ze zbiorem liczb rzeczywistych, który jest nieprzeliczalny.