Question

DAM NAJ!

Sposród 300 uczniów klas trzecich i czwartych liceum 100 wzięło udział w olimiadzie matematycznej, 80 - w fizycznej, 60 - w informatycznej, w tym 23 w matematycznej i fizycznej, 16 w matematycznej i infromatycznej, 14 - w fizycznej i informatycznej, a 5 uczniów wzięło udział we wszystkich trzech olimpiadach. Ilu udzniów wzięło udział:

a) tylko w olimiadzie matematycznej,

b) tylko w jednej olimpiadzie,

c) w co najmniej jednej olimpiadzie?

Answer 1

|X| - liczba elementów zbioru X

 

a)

|M| = 100 - tylu mamy uczestników olimpiady matematycznej

|M| - |F n M| - |I n M| = 100 - 23 - 16 = 61 - ele dwukrotnie odjeliśmy uczestników wszystkich trzech olimpiad

(|M| - |F n M| - |I n M|) + |M n I n F| = 61 + 5 = 66 - ostatecznie

 

b)

|M| + |I| + |F| = 100 + 60 + 80 = 240 - ale tu się powtarzają dwukrotnie uczestnicy dwóch olimpiad, a trzy razy policzyliśmy tych startujących we wszystkich trzech

|M n I| + |M n F| + |F n I| = 23 + 16 + 14 = 53 - tu z koleji mamy jednokrotnie policzonych uczestników dwóch olimpiad i trzy razy policzyliśmy tych startujących we wszystkich trzech

240 - 2(|M n I| + |M n F| + |F n I|) = 240 - 2*53 = 134 - czyli nie ma już tych startujących 2 razy, ale zamiast odjęć 3 krotność liczby startujących w 3 odjeliśmy jej 6 krotność

134 + 3*5 = 149

 

c)

149 - tylko jedna

5 - wszystkie trzy

154 - brakuje tych startujących w dwóch

|M n I| + |M n F| + |F n I| = 23 + 16 + 14 = 53 - tu z koleji mamy jednokrotnie policzonych uczestników dwóch olimpiad i trzy razy policzyliśmy tych startujących we wszystkich trzech

53 - 3*5 = 38

154 + 38 = 192