Udowodnić, że zbiór wszystkich ciągów nieskończonych, których wyrazami są cyfry układu dziesiętnego,.... Question from @Kinia1804

January 2019 1 27 Report

Udowodnić, że zbiór wszystkich ciągów nieskończonych, których wyrazami są cyfry
układu dziesiętnego, jest nieprzeliczalny.

MrPolygon Skoro wyrazami ciągu są cyfry, to każdy taki ciąg można zinterpretować jako rozwinięcie dziesiętne pewnej liczby rzeczywistej - trzeba tylko na początku dopisać zero i przecinek, np. ciąg

4, 1, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 2, 3, 7, 3, 0, 9,...

można potraktować jako liczbę z rozwinięciem:

0,41421356237309...

Jeśli wyrazy takiego ciągu od pewnego miejsca są zerami, to taki ciąg będzie odpowiadać rozwinięciu skończonemu liczby wymiernej, np.

3, 1, 2, 5, 0, 0, 0, 0...

odpowiada liczbie

0,3125 = $\frac{5}{16}$

Jeśli grupa wyrazów ciągu powtarza się cyklicznie i nie są to zera, to taki ciąg będzie odpowiadać rozwinięciu nieskończonemu okresowemu liczby wymiernej, np.

1, 2, 8, 3, 7, 8, 3, 7, 8, 3, 7, 8, 3,...

odpowiada liczbie

0,12(837) = $\frac{19}{148}$

Jeśli ciąg nie ma powtarzającej się regularnie grupy wyrazów, to taki ciąg będzie odpowiadać rozwinięciu nieskończonemu nieokresowemu liczby niewymiernej, np.

7, 3, 2, 0, 5, 0, 8, 0, 7, 5, 6, 8,...

odpowiada liczbie

0,732050807568... = $\sqrt3-1$

Każdy taki ciąg będzie się "znajdował" pomiędzy dwoma skrajnymi ciągami:

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...

który odpowiada liczbie 0,0000... = 0,

oraz

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,...

który odpowiada liczbie 0,9999... = 1.

Tym sposobem znajdujemy odwzorowanie, które każdemu takiemu ciągowi przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę rzeczywistą (wymierną lub nie) z przedziału domkniętego $\langle0,1\rangle$ . A ponieważ moc tego przedziału jest równa continuum $\mathfrak{c}$ , to i opisany wcześniej zbiór ciągów jest nieprzeliczalny. q.e.d.

2 votes Thanks 2