Question

Uczniów biorących udział w konkursie matematycznym należało umieścić w salach tak, by w każdej Sali była ta sama liczba osób, przy czym, nie więcej niż 32 osoby. Kiedy najpierw w każdej Sali umieszczono po 22 osoby, dla jednego zawodnika zabrakło miejsca. Gdy zaś z jednej sali zrezygnowano, miejsc w pozostałych wystarczyło dla wszystkich. Ile było zawodników i sal?

Answer 1

X - liczba uczniów
n - liczba sal przy pierwszym rozmieszczeniu
a - liczba uczniów w jednej klasie po drugim rozmieszczeniu

x,n,a∈N+
a<32

x = 22n+1
x = an

x = 22n+1
22n+1 = a(n-1)

x = 22n+1
(a-22)n = 1+a

x = 22n+1
(a-22)n = (-22+a)+23

(a-22)(n-1) = 23

Ponieważ zarówno a-22, jak i n należą do N+, ich iloczyn wyniesie 23 (liczba pierwsza) wyłącznie wtedy, gdy jeden z czynników będzie równy 1, a drugi - 23:

1)
a-22 = 23
n-1 = 1

a = 45
n = 2
x = 22n+1 = 45

lub

2)
a-22 = 1
n-1 = 23

a = 23
n = 24
x = 22n+1 = 529

Ponieważ 1) nie spełnia założeń początkowych (a>32), właściwa jest odpowiedź 2) (n-1 = 23, x = 529)