Question

Trzy liczby, których suma jest równa 84, tworzą ciag geometryczny. Liczby te są równe odpowiednio pierwszemum, trzynastemu i szesnastemu wyrazowi ciągu arytmetycznego. Znajdź te liczby .
Poproszę o rozwiązanie krok po kroku :)

Answer 1

A - ciąg geometryczny; a1 - pierwszy wyraz, q - iloczyn ciągu
b - ciąg arytmetyczny; b1 - pierwszy wyraz, r - róznica ciągu

a1 = b1
a2 = b13
a3 = b16

a1 + a2 + a3 = b1 + b13 + b16 = 84
b13 = b1 + 12r
b16 = b1 + 15r

84 = b1 + b1 + 12r + b1 + 15r
84 = 3*b1 + 27r
b1 = 28 - 9r

a3/a2 = a2/a1
b16/b13 = b13/b1
(b1 + 15r)/(b1 + 12r) = (b1 + 12r)/b1
b1^2 + 15r*b1 = b1^2 + 24r*b1 + 144r^2

144r^2 + 9r*(28 - 9r) = 0
144r^2 - 81r^2 + 252r = 0
63r^2 + 252r = 0
r^2 + 4r = 0
r(r + 4) = 0
r = 0 v r = -4

Jeśli r = 0, to szukane liczby mają dowolna wartości, byle by były takie same (bo wówczas b1 = b2 = b13 = ... oraz a1 = a2 = a3...), każda równa 84/3 = 28.

Rozpatruje wiec dla r = -4

b1 = 28 - 9*(-4) = 64 = a1
b13 = 64 + 12*(-4) = 16 = a2
b16 = 64 + 15*(-4) = 4 = a3

Odp.: Szukane liczby to 28, 28 i 28 lub 64, 16 i 4.