Question

Ciąg (a n = (z indeksem dolnym "n")) opisany wzorem rekurencyjnym ma postać:

a n+1 = a z indeksem dolnym "n+1"
a n +3 = a z indeksem dolnym "n" dodać trzy :P

a₁= 1
a n+1 = a n +3 dla n ≥ 1

a) Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.
b) Ile wyrazów trzycyfrowych jest w tym ciągu?
c) Oblicz sumę jego wyrazów od dziesiatego do dwudziestego piątego.

Answer 1

Zacznijmy od tego by zrozumieć ten wzór rekurencyjny,
a₁ = 1=0+1
a₂ = 1+3=4=3+1
a₃ = 4+3=7=3+3+1
a₄ = 7+3=10=3+3+3+1
a₅ = 10+3=13=3+3+3+3+1
a₆ = 13+3=16=3+3+3+3+3+1
a) jak widać z powyższej rozpiski a(index dolny)n = 3(n-1) + 1 =3n-2
b)każdy wyraz ciągu jest większy o 3 od poprzedniego , najmniejszym wyrazem 3-cyfrowym jest 100(3*33+1),a największym jest 997 (1000=333*3+1, ale to jest już za dużo czyli 1000-3=997). Teraz liczymy ile liczb jest w przedziale <100;997>, czyli 997-100=897, następnie korzystając z informacji że każdy element jest o 3 większy od poprzedniego wnioskujemy, że tylko co trzecia liczba z tego ciągu nas interesuje, zatem dzielimy 897/3=299, tyle właśnie jest liczb 3-cyfrowych.
c)Możesz zrobić to ręcznie wyliczając te wyrazy, ale wydaje mi się że bardziej zaciekawicie (lub Twojego matematyka) opcja ze wzorem na sumę kolejnych liczb naturalnych.
Wzór to 1+2+3+4+5...n=n*(n+1)*0,5
Więc wracając do zadania
i
Σ gdzie i to indeks początkowy a k końcowy
k

i
Σ (ai) = ai + ai+1 ... ak
k

ai=3i-2


i
Σ (ai)= ai + ai+1 ... ak
k


i
Σ (3i-2) = (3i-2) + (3(i+1)-2) +...(3k-2)=
k

wyrzucamy co się da przed nawias
= (k-i+1) *(-2) + 3(i+(i+1)+...k)
i+(i+1)...k jest to suma kolejny liczb naturalnych od i do k, można to zapisać za pomocą wzoru tak
k*(k+1)*0,5-i*(i+1)0,5+k
wstawiamy do naszej sumy
i
Σ (3i-2) = (k-i+1) *(-2) + 3(k*(k+1)*0,5-i*(i+1)0,5+k)=
k

-2(k-i)-2 + 3(k*k+k-(i*i+i))/2 + 3k Jak to zapiszesz jako ułamek to będzie ładnie wyglądać,
(k-i+1) to liczba elemntów sumowanych
teraz podkładamy liczby
10
Σ = -2(25-10) - 2 +3(25*25+25-(10*10+10))/2 + 3*25=
25

-30 - 2 + 3(650 - 110)/2 + 75 = -32 + 1620 + 75= 1673