Question

Trzy liczby, których suma jest równa 105 tworzą ciąg geometryczny. Jeśli od pierwszej odejmiemy 45 to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz te trzy liczby. Proszę o wyjaśnienie i krok po kroku równania i wyliczenia.

Answer 1

a1,a1*q, a1*q^2   - ciąg geometryczny

a1 - 45, a1*q, a1*q^2    - ciąg arytmetyczny

Mamy

a1 + a1*q + a1*q^2 = 105

a1*q - (a1 -45) = a1*q^2 - a1*q

-----------------------------------------

a1*(1 + q + q^2) = 105 = >  a1 = 105/( 1 + q + q^2)

a1*q - a1 + 45 = a1*q^2 - a1*q)

--------------------------------------------

a1 = 105/( 1 + q + q^2)

a1*(2 q - 1) + 45 = a1*q^2

-----------------------------------

[ 105/( 1 + q + q^2)]*( 2 q - 1) + 45 = [ 105/( 1 + q + q^2)]*q^2   ; mnożymy przez

1 + q + q^2

Mamy

105*( 2 q - 1) + 45*( 1 + q + q^2) = 105*q^2

210*q - 105 + 45 + 45*q + 45*q^2 = 105*q^2

60 q^2 - 255q + 60 = 0   / : 5

12 q^2 - 51 q + 12 = 0

----------------------------

delta = ( -51)^2 - 4*12*12 = 2 601 - 576 = 2025

p( delty) = 45

q = [ 51 - 45]/24 = 6/24 = 1/4   lub  q = [ 51 + 45]/24 = 96/24 = 4

zatem

a1 = 105 /( 1 + 1/4 + 1/16) = 105 /(21/16) = 105 *(16/21) = 1680/21 =80

lub

a1 = 105 /( 1 + 4 + 16) = 105/21 = 5

Mamy

a1 = 80, a2 = 80*(1/4) = 20, a3 = 20*(1/4) = 5

lub

a1 = 5,  a2 = 5*4 = 20, a3 = 20*4 = 80

Odp.

Te liczby to:   80,20,5   lub  5,20,80

=====================================