Question

trójmian kwadratowy y=ax2+bx+c osiaga wartosc najmniejsza rowna 3 dla argumentu 6 i do wykresu trojmianu nalezy punkt A=(4,15). wyznacz a,b,c

Answer 1

Funkcja kwadratowa:

Postać ogólna: y=ax²+bx+c

Δ=b²-4ac

x₁=[-b-√Δ]/2a

x₂=[-b+√Δ]/2a

Postać kanoniczna (wierzchołkowa): y=a(x-p)²+q, gdzie p,q - współrzędne wierzchołka

p=-b/2a

q=-Δ/4a

Δ=b²-4ac

Postać iloczynowa: y=a(x-x₁)(x-x₂), gdzie x₁,x₂ - miejsca zerowe (pierwiastki)

===========================================================

y=ax²+bx+c

Skoro trójmian osiąga wartość najmniejszą równą y=3 dla x=6, to miejsce to jest wierzchołkiem paraboli:

W(p, q)=W(6, 3)

Z postaci kanonicznej:

y=a(x-6)²+3

Ponadto wiemy, że punkt A=(4,15) należy do wykresu funkcji:

15=a(4-6)²+3

15-3=a*(-2)²

4a=12

a=3

Podstawiając wartość współczynnika kierunkowego do równania i wykonując odpowiednie obliczenia dostaje się postać ogólną f. kwadratowej z której można odczytać współczynniki b i c:

y=2*(x-6)²+3

y=2*[x²-12x+36]+3

y=2x²-24x+72+3

y=2x²-24x+75

Wartości współczynników: a=2, b=-24, c=75.