Question

Treść w załączniku (1 zadanie).

Dam naj :)

Answer 1

ABCD – trapez

|AB| = a

|CD|  = b

|AD| = a + b

 

E – punkt przecięcia się  dwusiecznych kątów wewnętrznych przy wierzchołkach A i D trapezu

Oznaczamy:

∢ BAE = ∢ EAF =  α

∢ EDC = ∢ CDE =  β

 

Suma kątówprzy dowolnymramieniu trapezujest równa 180°.

|∢ A| + |∢ D| = 180°

2α + 2β= 180° /:2

α + β= 90°

Zatem trójkąt AED jest prostokątny:

|∢ AED| = 180° – (α + β) = 180° – 90° = 90°

 

Na ramieniu AD wyznaczamy punkt F, który jest środkiem tego ramienia.

 

W trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie,

zatem |AF| = |EF| = |DF| (odcinki są promieniami okręgu opisanego na trójkącie AED), a stąd wynika, że:

1)

trójkąty AEF i DEF są równoramienne, a to oznacza, że:

|∢ FEA| = |∢ EAF| = |∢ BAE|, zatem proste AB i EF są równoległe, bo przecinają prostą AE pod tym samym kątem, czyli AB || EF, a tym samym EF || CD (bo AB || CD)

2)

|AD| = |AF| + |DF| = |EF| + |EF| = 2 |EF|

|AD| = a + b

Stąd:

2 |EF| = a + b /:2

zatem długość odcinka EF jest średnią arytmetyczną długości obu podstaw trapezu.

 

Z 1) i 2) wynika, że odcinek EF jest równoległy do obu podstaw trapezu, a jego długość jest średnią arytmetyczną ich długości, czyli odcinek EF to linia środkowa trapezu ABCD, a to oznacza, że odcinek EF to odcinek łączący środki ramion trapezu.

Z założenia punkt F leży do ramieniu AD, zatem punkt E (punkt przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych przy wierzchołkach A i D trapezu) leży na ramieniu BC, co należało udowodnić.