Question

Jedno zadanie w załączniku. Dam naj :)

Answer 1

Pole czworokąta XZTA będzie równe różnicy pól trójkątów ATD i XZD.

Aby obliczyć pola tych trójkątów, należy obliczyć wysokość h₁ i h₂ (patrz załącznik). Podstawy mają długość |AD| = a i |XD| = ½a.

1. Umieszczamy kwadrat ABCD w układzie współrzędnych

Bok kwadratu ma długość a, zatem punkty zgodnie z treścią zadania mają współrzędne:

A = (0, 0)

B = (a, 0)

C = (a, a)

D = (0, a)

X = (0; ½a)

Y = (½a, 0)

2. Wyznaczamy równania prostych k, l, s

Równanie prostej przechodzącej przez punkty (x₁, y₁) i (x₂, y₂):

(x₂ - x₁)(y - y₁) = (y₂ - y₁)(x - x₁)

1) prosta k - prosta przechdząca przez punkty A i C

(a - 0)(y - 0) = (a - 0)(x - 0)

ay = ax /:a

y = x

k: y = x

2) prosta l - prosta przechodząca przez punkty X i C

(a - 0)(y - ½a) = (a - ½a)(x - 0)

ay - ½a² = ½ax  /:a

y - ½a = ½x

y = ½x + ½a

l: y = ½x + ½a

3) prosta s - prosta przechodząca przez punkty Y i D

(0 - ½a)(y - 0) = (a - 0)(x - ½a)

- ½ay = ax - ½a²  /:(- ½a)

y = - 2x + a

s: y = - 2x + a

3. Wyznaczamy pierwsze współrzędne punktów T i Z, ich wartość będzie równa długości odpowiednio wysokości h₁ i h₂.

1) piewsza współrzędna punkty T

Punkt T należy to prostej k i s.

k: y = x

s: y = - 2x + a

Zatem:

x = - 2x + a

x + 2x = a

3x = a  /:3

x = ⅓a

Stąd:

h₁ = ⅓a

2) pierwsza współrzędna punktu Z

Punkt Z należy to prostej l i s.

l: y = ½x + ½a

s: y = - 2x + a

Zatem:

½x + ½a = - 2x + a

½x + 2x = a - ½a

2½x = ½a  /:2½

x = ⅕a

h₂ = ⅕a

4. Obliczamy pola trójkątów ATD i XZD

1) pole ΔATD - P₁

P₁ = ½ · |AD| · h₁

P₁ = ½ · a · ⅓a

P₁ = ⅙·a²

2) pole ΔXZD - P₂

P₂ = ½ · |XD| · h₂

P₂ = ½ · ½a · ⅕a

P₂ = ¹/₂₀·a²

5. Obliczamy pole czworokąta XZTA - P

Pole czworokąta XZTA = pole trójkąta ATD -  pole trójkąta XZD

P = P₁ - P₂

P = ⅙·a² - ¹/₂₀·a²

P = ¹⁰/₆₀a² - ³/₆₀a²

P = ⁷/₆₀a²

Odp. Pole czworokąta XZTA wynosi ⁷/₆₀a².