Question

Treść w załączniku (1 zadanie). Dam naj :)

Answer 1

ABC - dany trójkąt

Oznaczenia (patrz załącznik):

∢BAC = α

∢ABC = β

∢ACB = γ

X, Y, Z - odpowiednio środki boków AB, BC i AC

S - środek okręgu opisanego na ΔABC i środek okregu wpiasnego w ΔABD

 

AD - dwusieczna kąta α, zatem α = 2a

 

AS, BS - odpowiednio dwusieczne kątów a i β w ΔABD, zatem  a = 2a₁, β = 2b

 

AS, BS, CS - promienie okręgu opisanego na ΔABC, czyli |AS| = |BS| = |CS|. Zatem ΔABS, ΔBCS, ΔACS to trójkąty równoramienne, stąd:

ΔABS - trójkąt równoramienny, czyli b = a₁

ΔBCS - trójkąt równoramienny, czyli c₁ = b = a₁

ΔACS - trójkąt równoramienny, czyli c = a + a₁ = 2a₁ + a₁ = 3a₁

Stąd otrzymujemy:

α = 2a = 2·2a₁ = 4a₁

β = 2b = 2a₁

γ = c₁ + c = a₁ + 3a₁ = 4a₁

Zatem:

α + β + γ = 180°

4a₁ + 2a₁ + 4a₁ = 180°

10a₁ = 180° /:10

a₁ = 18°

 

α = 4a₁ = 4 · 18° = 72°

β = 2a₁ = 2 · 18° = 36°

γ = 4a₁ = 4 · 18° = 72°

 

Odp. Miary kątów trójkąta ABC wynoszą: 72°, 36°, 72°.