Question

Stereometria: graniastoslupy i ostroslupy
zadania w zalaczniku

Answer 1

Z.2
Pp - pole podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
Pp = 6√3
Pb - pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa
Pb = 12
Pole sześciokąta foremnego obliczamy jako pole sześciu
jednakowych trójkątów równobocznych
Pp = 6*[a²√3]/ 4 , czyli
6*[a²√3]/4 = 6*√3
a²/4 = 1 ---> a² = 4
a = 2 , gdzie a długość krawędzi podstawy ostrosłupa
Pb =6*P1 = 12
P1 = 12 : 6 = 2 , gdzie P1 - pole jednej ściany bocznej
P1 = 0,5*a*h1 = 0,5*2*h1 = h1
h1 = 2
h1 - wysokość ściany bocznej
h2 - wysokość Δ równobocznego o boku a ( z sześciu takich
trójkątów składa się odstawa ostrosłupa).
h2 =0,5* a*√3 = 0,5*2*√3 = √3
cos α = h2 / h1 = = √3 / 2
α = 30⁰
Odp.Miara kata między ścianą boczną tego ostrosłupa, a
płaszczyzną podstawy jest równa 30⁰ .
z.3
Pc - pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego
trójkątnego
Pc = 75√3
α - miara kata nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
α = 60⁰
Niech x = (1/3) h1 = (1/3)*[a√3/2] = [a√3]/6
cos α = x/h2 = {[a√3]/6}/h2 = 1/2 ,
6 h2 = 2a√3
h2 = [a√3]/3
h1 - wysokość podstawy ostrosłupa ( Δ równoboczny)
h2 - wysokość ściany bocznej ( Δ równoramienny)

Pc = Pb + Pb = [a²*√3]/4 + 3*a*a*[√3/2]*0,5 = [a² √3]/4 +
+ [a² √3]/2 = [3a² √3]/4 = 75*√3
3a² = 4*75 = 300
a² = 100
a = 10
Odp.Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa 10.
z.5
d = 2 - długość przekątnej graniastosłupa
d1 - dł. przekątnej podstawy ( kwadratu)
d1 = a√2
d1/d =[a√2] /2 = cos 60⁰ = 1/2
a√2 = 1 ---> a = 1/√2 = √2/2
d1 = (√2/2)*√2 = 1
h² +(d1)² = d²
h² = 2² - 1 = 3
h = √3 - wysokość graniastosłupa
V = Pp*h = a² *h = [√2/2]² *√3 = (1/2)*√3 = √3/2
Odp. Objętość tego graniastosłupa jest równa √3 /2 dm³.