Potrzebuję pomocy z elementów analizy matematycznej, łącznie 3 zadania (łatwe, z początku działu). 2.... Question from @A2301

December 2018 1 56 Report

Potrzebuję pomocy z elementów analizy matematycznej, łącznie 3 zadania (łatwe, z początku działu).

2.9 Wskaż dwa ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ dla których $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n =x_0$ oraz $\lim_{n \to \infty}f( a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n),$ i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie $x_0$ , jeśli
(do wyboru, drugi przykład postaram się zrobić sama):
$e) \ f(x)= \frac{|x^2+3x+2|}{x^2-1}, \ x_0=-1 \\f) \ f(x)= \frac{ \sqrt{x+5}-1 }{|x+4|} , \ x_0=-4$

2.12 Oblicz granicę:
$e) \ \lim_{x \to -3} \frac{x^4-8x^2-9}{x^3+3x^2}$
(nie wiem w jaki sposób skracać/rozszerzyć, jeśli niekoniecznie da się skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia)

2.13 Oblicz granicę:
$e) \ \lim_{x \to 1} [ \frac{x^2}{x-1} + \frac{1}{x-1} } ]$
(tu też nie mam pomysłu na rozszerzenie/skrócenie)

Paawełek E). Licznik zamień na postać iloczynową:
$x^2+3x+2=x^2+x+2x+2=x(x+1)+2(x+1)= \\ \\ =(x+1)(x+2) \\ \\ x^2-1=(x+1)(x-1)$

Gdy x>-1 to |x^2+3x+2|=x^2+3x+2 więc najpierw wyznaczasz granicę z prawej strony:
$\lim\limits_{x\to -1^+} \dfrac{|x^2+3x+2|}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{(x+2)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{x+2}{x-1}= \\ \\ =\dfrac{-1+2}{-1-1}=-\dfrac{1}{2}$

Teraz z lewej strony - gdy x<-1 to |x^2+3x+2| = -(x^2+3x+2):

$\lim\limits_{x\to -1^-}\dfrac{|x^2+3x+2|}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{-(x+2)(x+1)}{(x-1)(x+1)}= \\ \\ =\lim\limits_{x\to -1}-\dfrac{x+2}{x-1}=-\dfrac{-1+2}{-1-1}=\dfrac{1}{2}$

Obie granice są różne, więc nie istnieje granica w tym punkcie. Istnieje tylko granica prawostronna (wynosi -1/2) i lewostronna (wynosi 1/2)

W drugim to samo - gdy x>-4 to |x+4|=x+4 i liczysz pierw prawostronną. By to zrobić rozszerzasz licznik przez $\sqrt{x+5}+1$ i zobaczysz co się stanie:

$\lim\limits_{x\to -4^+} \dfrac{\sqrt{x+5}-1}{|x+4|}=\lim\limits_{x\to -4} \dfrac{\sqrt{x+5}-1}{x+4}=\\ \\ =\lim\limits_{x\to -4} \dfrac{(\sqrt{x+5}-1)(\sqrt{x+5}+1)}{(x+4)(\sqrt{x+5}+1)}=\lim\limits_{x\to -4} \dfrac{(\sqrt{x+5})^2-1^2}{(x+4)(\sqrt{x+5}+1)}=\\ \\ =\lim\limits_{x\to -4} \dfrac{x+4}{(x+4)(\sqrt{x+5}+1)}=\lim\limits_{x\to -4} \dfrac{1}{\sqrt{x+5}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{1}+1}=\dfrac{1}{2}$

Gdy x<-4 to |x+4| = -(x+4) i robisz dosłownie to samo (robię tutaj kopiuj wklej i dopisuję tylko minusy :) )

$\lim\limits_{x\to -4^-} \dfrac{\sqrt{x+5}-1}{|x+4|}=\lim\limits_{x\to -4} -\dfrac{\sqrt{x+5}-1}{x+4}=\\ \\ =\lim\limits_{x\to -4} -\dfrac{(\sqrt{x+5}-1)(\sqrt{x+5}+1)}{(x+4)(\sqrt{x+5}+1)}=\lim\limits_{x\to -4} -\dfrac{(\sqrt{x+5})^2-1^2}{(x+4)(\sqrt{x+5}+1)}=\\ \\ =\lim\limits_{x\to -4}- \dfrac{x+4}{(x+4)(\sqrt{x+5}+1)}=\lim\limits_{x\to -4}- \dfrac{1}{\sqrt{x+5}+1}=-\dfrac{1}{\sqrt{1}+1}=-\dfrac{1}{2}$

i jak poprzednio: granica nie istnieje, jest prawostronna (1/2) i lewostronna (-1/2)

Zad 2.12: licznik i mianownik sprowadź do postaci iloczynowej:

$x^4-8x^2-9=x^4-9x^2+x^2-9=x^2(x^2-9)+x^2-9= \\ \\ =(x^2+1)(x^2-9)=(x^2+1)(x-3)(x+3) \\ \\ x^3+3x^2=x^2(x+3) \\ \\ \lim\limits_{x\to -3} \dfrac{x^4-8x^2-9}{x^3+3x^2}=\lim\limits_{x\to -3} \dfrac{(x^2+1)(x-3)(x+3)}{x^2(x+3)}= \\ \\ =\lim\limits_{x\to -3} \dfrac{(x^2+1)(x-3)}{x^2}=\dfrac{(9+1)(-3-3)}{9}=-\dfrac{60}{9}=-\dfrac{20}{3}$

Ostatnie:

$\lim\limits_{x\to1} \left(\dfrac{x^2}{x-1}+\dfrac{1}{1-x}\right)=\lim\limits_{x\to1} \left(\dfrac{x^2}{x-1}+\dfrac{1}{-(x-1)}\right)= \\ \\ =\lim\limits_{x\to1} \left( \dfrac{x^2}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}\right)=\lim\limits_{x\to1} \dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}= \\ \\ =\lim\limits_{x\to1}(x+1)=1+1=2$