Chodzi o zadania 160 oraz 161. Próbowałam podchodzić do obu, ale za każdym razem utykam w pewnym mom.... Question from @A2301

January 2019 1 71 Report

Chodzi o zadania 160 oraz 161. Próbowałam podchodzić do obu, ale za każdym razem utykam w pewnym momencie. Jeżeli ktoś byłby w stanie mi pomóc to byłabym bardzo wdzięczna. Przyznam naj.

MrPolygon 3.160.

Z równania okręgu o odczytujemy, że jego środek ma współrzędne S(-3,0), zaś promień ma długość r=5.

Upewnijmy się, że okrąg o i prosta k nie mają punktów wspólnych. W tym celu obliczamy odległość środka S od prostej:

$d(S,k)=\dfrac{|4x_S+3y_S-38|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\dfrac{|4\cdot(-3)+3\cdot0-38|}{\sqrt{25}}=\dfrac{|{-}50|}{5}=10>r$

Ta odległość jest większa od promienia, więc faktycznie okrąg o i prosta k są rozłączne.

Promień poszukiwanego okręgu (stycznego zarówno do okręgu o, jak i do prostej k), będzie najmniejszy, gdy ten okrąg znajdzie się "pomiędzy" okręgiem o i prostą k - tzn. jego środek (nazwijmy go P) będzie leżał na prostej prostopadłej do k przechodzącej przez S.

Znajdziemy równanie prostej m, prostopadłej do k i przechodzącej przez S.
Wektorem normalnym (prostopadłym) prostej k jest wektor $\vec{v}=[4,3]$ , co odczytujemy z równania ogólnego $4x+3y-38=0$ .
Wektor normalny prostej m będzie prostopadły do $\vec{v}=[4,3]$ . Przykładowym wektorem prostopadłym do $\vec{v}=[4,3]$ jest $\vec{u}=[3,-4]$ , co można łatwo sprawdzić iloczynem skalarnym.
Prosta m ma więc równanie $3x-4y+C=0$ . Współczynnik C odnajdujemy, podstawiając do tego zapisu współrzędne punktu S:
$3\cdot(-3)-4\cdot0+C=0\qquad\Rightarrow\qquad{}C=9\\\\m:\;3x-4y+9=0$

Rysunek w załączniku.
Szukamy punktów przecięcia okręgu o i prostej m - w tym celu rozwiązujemy układ złożony z równań tych dwóch figur:

$\left\{\begin{array}{l}3x-4y+9=0\\(x+3)^2+y^2=25\end{array}\right.\\\\{}\\\\\left\{\begin{array}{l}y=\frac34x+\frac94\\(x+3)^2+(\frac34x+\frac94)^2=25\end{array}\right.\\\\{}\\x=1\qquad\vee\qquad{}x=-7\\y=3\qquad\vee\qquad{}y=-3$

Sprawdzamy, który z tych dwóch punktów A(1,3) i B(-7,-3) leży bliżej prostej k:

$\dfrac{|4\cdot1+3\cdot3-38|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\dfrac{|-25|}{5}=5\\\\{}\\\\\dfrac{|4\cdot(-7)+3\cdot(-3)-38|}{\sqrt{4^2+3^2}}=15$

Bliżej leży punkt A(1,3).

Znajdziemy jeszcze punkt przecięcia prostych k i m:

$\left\{\begin{array}{l}4x+3y-38=0\\3x-4y+9=0\end{array}\right.\\{}\\\\\left\{\begin{array}{l}x=5\\y=6\end{array}\right.$

Przecinają się one w punkcie C(5,6).

To oznacza, że środek poszukiwanego okręgu będzie środkiem odcinka AC.

$P\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)\\\\P\left(\frac{1+5}{2},\frac{6+3}{2}\right)\\\\P\left(3,4\frac12\right)$

Promień poszukiwanego okręgu ma długość:

$|AP|=\sqrt{(1-3)^2+(3-4{,}5)^2}=2{,}5$

Wobec tego nasz poszukiwany okrąg ma równanie:

$(x-3)^2+(y-4{,}5)^2=6{,}25\\\\\rule{10cm}{1pt}$

3.161.

Rysunek w załączniku.
Oznaczmy przez $P(x_P,y_P)$ środek dowolnego okręgu, który jest jednocześnie styczny do prostej $k:y=-2$ i do okręgu $o:x^2+y^2=4$ o środku S(0,0) i promieniu 2. Zauważmy, że $y_P$ musi być większe od 2, ponieważ okrąg o znajduje się "ponad" prostą k.
Okrąg środku P jest styczny do prostej $k:y+2=0$ , więc odległość punktu P od tej prostej jest równa jego promieniowi:

$r=d(P,k)=\dfrac{|y_P+2|}{\sqrt{0^2+1^2}}=|y_P+2|=y_P+2$

bo $y_P+2>0$ . Okrąg o środku P i promieniu $r=y_P+2$ jest styczny zewnętrznie do okręgu o, więc

$|OP|=r_1+r=2+y_P+2=y_P+4$

Czyli

$|OP|=y_P+4\\\\\sqrt{(x_P-0)^2+(y_P-0)^2}=y_P+4\\\\x_P^2+y_P^2=(y_P+4)^2\\\\x_P^2+y_P^2=y_P^2+8y_P+16\\\\8y_P=x_P^2-16\\\\y_P=\frac18x_P^2-2$

Odp. Zbiorem środków tych okręgów (stycznych i do o, i do k) jest PARABOLA bez wierzchołka o równaniu $y=\frac18x^2-2$ . Wierzchołek musimy wyłączyć, gdyż jest on punktem wspólnym okręgu o i prostej k, nie może więc być środkiem okręgu do nich stycznego.