Question

Wysokość pewnego trójkąta i jego środkowa dzielą kąt na trzy równe części. Oblicz miary kątów tego trójkąta.

;DD

ps. najprawdopodobniej trzeba skorzystać ze wzoru 2R=a/sinα
R- promień okręgu opisanego na trójkącie

Answer 1

Mamy dwa trójkąty przystające:
Δ AED i Δ BDE
ponieważ miary kątów i jeden bok (wspólny z Δ BDE) się zgadzają, również Δ DBF przystaje do dwóch poprzednich, zatem:
|BF| = a

z tw. Pitagorasa:
|FC|² + a² = (2a)²
|FC|² = 3a²
|FC| = a√3
stąd mamy odczynienia z połową trójkąta równobocznego:
2α = 60°
α = 30°

90° - α = 60°
3α = 90°
90° - 2α = 30°
jak masz pytania to pisz na pw

Answer 2

∆ABC – dowolny trójkąt
AB, BC, AC – boki trójkąta ABC
CD – wysokość trójkąta ABC
CE – środkowa trójkąta ABC

|AE| = BE| = a
|AC| = b
|< ACB| = 3α

patrz załącznik

∆ACD
Kąt przy wierzchołku D jest prosty (90°), kąt przy wierzchołku C ma miarę α, czyli kąt przy wierzchołku A ma miarę 90° – α ( |< BAC| = 90° – α).
∆BCD
Kąt przy wierzchołku D jest prosty (90o), kąt przy wierzchołku C ma miarę 2α, czyli kąt przy wierzchołku B ma miarę 90o – 2α ( |< ABC| = 90° – 2α).

Wysokość trójkąta ACE tworzy z bokami równe kąty α, czyli trójkąt ten jest równoramienny. Stąd otrzymujemy |AC| = |CE| = b.

Zastosujemy twierdzenie sinusów do trójkątów ACE i BCE

Twierdzenie sinusów. W każdym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa przeciwległego kąta jest równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

∆ACE
a / sin 2 α = b / sin (90° – α)
a / (2 * sin α * cos α) = b / cos α /* (2 * sin α * cos α )
a = 2 * b * sin α

∆BCE
a / sin α = b / sin (90° – 2α)
a / sin α = b / cos 2α

Stąd otrzymujemy:
a = 2 * b * sin α
a / sin α = b / cos 2α

zatem
2 * b * sin α / sin α = b / cos 2α
2b = b / cos 2α /* cos 2α
2b * cos 2α = b /: 2b
cos 2α = ½
α = 30°

|< BAC| = 90° – α = 90° – 30° = 60°
|< ABC| = 90° – 2α = 90° – 2 * 30° = 90° – 60° = 30°
|< ACB| = 3α = 3* 30° = 90°

Odp. Kąty trójkąta to 30°, 60°, 90°.