Question

Rozwiąż układ równań:

|x+y|=1

|x|+|y|=1

z chęcią wybiore najlepsze rozwiązanie:)

Answer 1

Rozw graf. w zalaczniku

 

w I cw. uklad ma postac

x+y=1

w II

-x+y=1

w III

-x-y=1

w IV

x-y=1

 

po narysowaniu odcinkow tych prostych, otrzymujemy rozw. graf. - kwadrat.

Answer 2

Rozwiązując algebraicznie możemy postapić nastepująco:

z definicji wartości bezwzględnej mamy:

, przy czym wartość dodatnią otrzymujemy, gdy x+y>=0 (x>=-y), a wartość ujemną (przeciwne znaki) gdy x+y<0, (x<-y)

 

z kolei

 

Teraz trzeba rozpatrzeć przypadki:

1) założenia: dla x>=-y i x>=0 i y>=0

układ równań ma postać:   i jego rozwiązaniem sa wszystkie pary liczb dodatnich,  (x,y), takich że y=1-x

2) założenia: dla  x>=-y i x>=0 i y<0

układ równań ma postać:  

dodajemy równania stronami: 2x=2, x=1, więc y=0,

 

3) założenia: dla  x>=-y i x<0 i y<0

układ równań ma postać:  

dodajemy równania stronami i otrzymujemy równanie sprzeczne: 0=2

(nie ma rozwiązań)

4) założenia dla x<-y i x>=0 i y>=0

układ równań ma postać: 

 dodajemy równania stronami i otrzymujemy równanie sprzeczne: 0=2

(nie ma rozwiązań)

5) założenia dla  x<-y i x>=0 i y<0

układ równań ma postać: 

 dodajemy równania stronami: -2y=2, y=-1, czyli x=0,

6)założenia dla  x<-y i x<0 i y<0

układ równań ma postać: 

i jego rozwiązaniem sa wszystkie pary liczb dodatnich,  (x,y), takich że -y=1+x

y=-1-x

 

Ostatecznie sumujemy rozwiązania wszystkich przypadków 

 

Najlepiej jednak rozwiązywać takie zadania graficznie, tak jak to zrobił mój poptrzednik, ale jest burza i musze wyłączyć komuter:(