Question

rozwiąż równianie i wytłumacz ;)

|x^2-2| - |x^2-9|=7

^2- kwadrat :)

Answer 1

 

Wyznaczamy przedziały, w jakich będziemy rozwiązywać to równanie.

Aby wyznaczyć przedziały, w jakich będziemy rozwiązywać to równanie wyrażenia pod każdą z wartości bezwzględnych przyrównujemy do zera.

 

W tym przypadku:

x² - 2 > 0, więc |x² - 2| = x² - 2

x² - 9 ≥ 0; więc |x² - 9| = x² - 9

Zatem równanie |x² - 2| - |x² - 9| = 7 przyjmuje postać:

x² - 2 - (x² - 9) = 7

x² - 2 - x² + 9 = 7

7 = 7

tożsamość, więc rozwiązaniem są wszystkie liczby spełniające założenie, czyli

 

W tym przypadku:

x² - 2 ≥ 0, więc |x² - 2| = x² - 2

x² - 9 < 0; więc |x² - 9| = - (x² - 9) = - x² + 9

Zatem równanie |x² - 2| - |x² - 9| = 7 przyjmuje postać:

x² - 2 - (-x² + 9) = 7

x² - 2 + x² - 9 = 7

2x² - 11 = 7

2x² - 11 - 7 = 0

2x² - 18 = 0 /:2

x² - 9 = 0

(x - 3)(x + 3) = 0

x - 3 = 0 lub x + 3 = 0

 

x - 3 = 0

x = 3 ∉ (- 3; - √2> u <√2; 3)

 

x + 3 = 0

x = - 3 ∉ (- 3; - √2> u <√2; 3)

 

więc rozwiązania nie spełniają założenia, czyli

 

W tym przypadku:

x² - 2 < 0, więc |x² - 2| = - (x² - 2) = - x² + 2

x² - 9 < 0; więc |x² - 9| = - (x² - 9) = - x² + 9

Zatem równanie |x² - 2| - |x² - 9| = 7 przyjmuje postać:

- x² + 2 - (-x² + 9) = 7

- x² + 2 + x² - 9 = 7

- 7  = 7

sprzeczność, więc

 

 

Rozwiązaniem równania jest suma rozwiązań w rozpatrywanych przypadkach, zatem:

 

 

Odp.