Question

Dana jest funkcja kwadratowa: f(x)= =x2+2x+4 narysuj wykres funkcji y=|f(x)\ oraz y=f(|x|)

Answer 1

Rysujemy wykres funkcji kwadratowej: f(x) = x² + 2x + 4Wykresem funkcji kwadartowej f(x) = ax² + bx + c jest parabola o równaniu y = ax² + bx + c, pamiętając, że jeśli a > 0, to ramiona paraboli są skierowane w górę.

W naszym przypadku a = 1 > 0, więc ramiona paraboli będą skierowane w górę.

 

1) Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

 

2) Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia paraboli z osią OY:

Punkt przecięcia paraboli z osią OY ma współrzędne: (0; c).

Zatem: (0; 4)

 

3) Wznaczamy współrzędne punktów przecięcia paraboli z osią OX:

Punkty przecięcia paraboli z osią OX to miejsca zerowe funkcji kwadratowej, a ich liczba zależy od wartości wyróżnika Δ i jeśli Δ < 0, to funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych, czyli parabola nie ma punktów wspólnych z osią OX.

W naszym przypadku Δ = - 12 < 0, czyli parabola nie ma punktów wspólnych z osią OX

 

4) Wyznaczamy dodatkowo dwa dowolne punkty należące do paraboli, czyli takie których współrzędne spełniają równanie paraboli.

x = - 2 ⇒ y = (- 2)²+2·(-2)+4 = 4 - 4 + 4 = 4, czyli punkt (-2; 4) ∈ y = x²+2x+4

x = 1 ⇒ y = 1²+2·1+4 = 1 + 2 + 4 = 7, czyli punkt (1; 7) ∈ y = x²+2x+4

 

Zaznaczamy wyznaczone punkty na układzie współrzędnych i rysujemy wykres funkcji f(x) = x²+2x+4, czyli parabolę o równaniu y = x²+2x+4 - patrz załącznik

 

 

Rysujemy wykres funkcji y = |f(x)|

Wyres funkcji y = |f(x)| powstaje poprzez symetrię osiową względem osi OX ujemnych wartości funkcji f(x), czyli ykresem funkcji y = |f(x)| będzie zbiór wszystkich punktów wykresu funkcji f(x) o nieujemnych wartościach (y ≥ 0) oraz obrazów wszystkich punktów wykresu funkcji f(x) o ujemnych wartościach (y < 0) w symetrii względem osi OX.

 

Zatem wykres funkcji y = |f(x)| powstaje poprzez odbicie części wykresu funkcji f(x) znajdującej się pod osią OX nad nią.

 

W naszym przypadku wszystkie wartości funkcji f(x) są dodatnie, czyli większe od zera (y > 0), czyli wykres y = |f(x)| = f(x), zatem wykresem będzie ta sama parabola - patrz załącznik

 

 

Rysujemy wykres funkcji y = f(|x|)

Wyres funkcji y = f(|x|)| powstaje poprzez symetrię osiową względem osi OY dodatnich wartości argumentów funkcji f(x), czyli wykresem funkcji y = f(|x|) będzie zbiór wszystkich punktów wykresu funkcji f (x) o nieujemnych argumetach, czyli leżących na prawo od osi OY oraz obrazów tych punktów w symetrii względem osi OY.

 

Zatem wykres fukncji y = f(|x|)|  powstaje poprzez usunięcie części wykresu funkcji f(x) znajdującej po lewej stronie osi OY i symetryczne odbicie prawej strony wykresu względem tej osi.

 

patrz załącznik