Question

Rozwiąż i wytłumacz ;)

|x2−4|−|9−x2|=5

Answer 1

|x² − 4| − |9 − x²| = 5

 

Ustalamy przedziały, w których będziemy rozwiązywać równanie:

x² − 4 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

x - 2 = 0 lub x + 2 = 0

x = 2 lub x = - 2

 

9 - x² = 0

(3 - x)(3 + x) = 0

3 - x  = 0 lub 3 + x  = 0

- x = - 3 /·(-1) lub x = - 3

x = 3 lub x = - 3

 

Zaznaczamy miejsca zerowe na osi rysujemy przybliżone wykresy wyrażeń i ustalamy przypadki w jakich będziemy rozpatrywać rozwiązanie równania |x² − 4| − |9 − x²| = 5

patrz załącznik

 

1) x ∈ (- ∞; - 3) u (3; + ∞)

w tym przypadku

x² - 4 > 0, więc |x² - 4| = x² - 4

9 - x² < 0, więc |9 - x²| = - (9 - x²) = - 9 + x²

i równanie |x² − 4| − |9 − x²| = 5 ma postać:

x² - 4 - (- 9 + x²) = 5

x² - 4 + 9 - x² = 5

5 = 5

tożsamość, więc rozwiązaniem są wszystkie liczby spełniające założenie, czyli

x ∈ (- ∞; - 3) u (3; + ∞)

 

2) x ∈ < - 3; - 2 > u < 2; 3 >

w tym przypadku

x² - 4 ≥ 0, więc |x² - 4| = x² - 4

9 - x² ≥ 0, więc |9 - x²| = 9 - x²

i równanie |x² − 4| − |9 − x²| = 5 ma postać:

x² - 4 - (9 - x²) = 5

x² - 4 - 9 + x² = 5

2x² - 13 = 5

2x² - 13 - 5 = 0

2x² - 18 = 0 /:2

x² - 9 = 0

(x - 3)(x + 3) = 0

x - 3 = 0 lub x + 3 = 0

 

x - 3 = 0

x = 3 ∈ < - 3; - 2 > u < 2; 3 >

 

x + 3 = 0

x = - 3 ∈ < - 3; - 2 > u < 2; 3 >

 

stąd x ∈ {- 3; 3}

 

3) x ∈ (- 2; 2)

w tym przypadku

x² - 4 < 0, więc |x² - 4| = - (x² - 4) = - x² + 4

9 - x² > 0, więc |9 - x²| = 9 - x²

i równanie |x² − 4| − |9 − x²| = 5 ma postać:

- x² + 4 - (9 - x²) = 5

- x² + 4 - 9 + x² = 5

- 5 = 5

sprzeczność, więc x ∈ Ф

 

 

Rozwiązaniem równania jest suma rozwiązań w rozpatrywanych przypadkach, zatem:

x ∈ [(- ∞; - 3) u (3; + ∞)] u {- 3; 3} u Ф = (- ∞; - 3 > u < 3; + ∞)

 

Odp. x ∈ (- ∞; - 3 > u < 3; + ∞)