Question

Rozwiąż równania dwukwadratowe:
a) x⁴+2x²-3=0
b)x⁴+12x²+35=0
c)4x⁴+9=37x²
d)x⁴+2x²=24

Answer 1

A) x⁴+2x²-3=0
Wprowadźmy pomocniczą t. Niech t = x², wtedy:
t² + 2t - 3 = 0
Δ = 4 + 12
Δ = 16 (mamy dwa rozwiązania)
t₁ = -2 + 4 / 2 = 1
t₂ = -2 - 4 / 2 = -3
Powróćmy do naszej pomocniczej t i wyliczmy x
x² = 1 oraz x² = - 3 (równanie sprzeczne).
|x| = 1
x = 1 lub x = -1
b) x⁴+12x²+35=0
Wprowadźmy znowu pomocniczą t. Niech t = x² wtedy:
t² + 12t + 35 = 0
Δ = 144 - 140
Δ = 4 (mamy dwa rozwiązania)
t₁ = -12 + 2 / 2 = -5
t₂ = -12 - 2 / 2 = -7
x² nie może się równać ani -7, ani -5, więc równanie ogólnie jest sprzeczne.
c)4x⁴+9=37x². Zmieńmy to równanie, by w równości było 0
4x⁴ - 37x² + 9 = 0
Wprowadźmy pomocniczą t. Niech t = x², wtedy:
4t² - 37t + 9 = 0
Δ = 1369 - 144
Δ = 1225 (mamy 2 rozwiązania).
t₁ = 37 - 35 / 8 = ¼
t₂ = 37 + 35 / 8 = 9
Powróćmy do naszej pomocniczej i wyliczmy x.
x² = 9 /√ x² = ¼ /√
|x| = 3 |x| = ½
x = 3 lub x = -3 x = ½ lub x = -½
Równanie ma 4 rozwiązania: x = {3, -3, ½, -½}
d) x⁴+2x²=24 . Zamieńmy równanie, by w wyniku było 0.
x⁴+2x² - 24 = 0
Wprowadźmy pomocniczą t. Niech t = x², wtedy:
t² + 2t - 24 = 0
Δ = 4 + 96
Δ = 100
t₁ = -2 + 10 / 2 = 4
t₂ = -2 -10 / 2 = -6
Powróćmy teraz do pomocniczej t i obliczmy x.
x² = 4 x² = -6 (równanie sprzeczne)
|x| = 2
x = 2 lub x = -2
Odpowiedź: a) x = {1, -1} b) x ∈Ф (przyjmij, że to jest zbiór pusty), c) x = {3, -3, ½, -½} d) x = {2, -2}