Question

W stalowej wannie o masie 50 kg znajduje się 30l wody o temperaturze 20C. Temperatura powietrza w pomieszczeniu w którym znajduje się wanna wynosi 20C. Do wanny wlano ciepłą wodę o temperaturze 60C. Końcowa temperatura wody w wannie wynosiła 30C. Oblicz, ile wody było w wannie, jeżeli podczas mieszania się woda ciepła oddaje do otoczeni 10% ciepła (oddanego wodzie zimnej i wannie). Ciepło właściwe wody wynosi 4200 J/kg^K, ciepło właściwe stali 447 J/kg^K

Proszę o wzory i dokładne obliczenia krok po kroku.

Answer 1

Wzór na zmianę energii wewnętrznej ciała w zależności od zmiany temperatury dany jest następującym wzorem (można go znaleźć np. na http://pl.wikipedia.org/wiki/Ciep%C5%82o_w%C5%82a%C5%9Bciwe)

ΔE = m * c * Δt
m - masa
c - ciepło właściwe ciała
Δt - zmiana temperatury

Przyjmijmy oznaczenia:
masa stali: ms = 50kg
objętość wody w wannie: V = 30l
gęstość wody: ro = 1000 kg / m³
masa wody w wannie: m1 = ro * V = 1000 * 30 (kg / m³ * l) =
= 30000 * 1/1000 (kg / m³ * m³) = 30 kg (tutaj korzystam z tego, że 1litr = 1/1000 m³)
masa dolanej wody: m2
ciepło właściwe stali: cp = 447
ciepło właściwe wody: cw = 4200

W zadaniu mamy wodę i wannę stalową (w skrócie będę pisał stal) o temperaturze początkowej 20C. Końcowa temperatura tych ciał to 30C
Zatem te ciała zmieniły temperaturę o Δt1 = 30C - 20C = 10C

Aby ogrzać wodę w wannie o Δt1 potrzebujemy tyle energii:
ΔE1 = Δt1 * m1 * cw
Aby ogrzać stal o Δt1 potrzebujemy tyle energii:
ΔE2 = Δt1 * ms * cs

Zatem w sumie na ogrzenie wody i stali potrzebujemy:
ΔE1 + ΔE2 energii


Ponadto mamy ciepłą wodę, która zmieniła temperaturę z 60C na 30C (ochłodziła się, oddając energię). Zatem zmiana temperatury nastąpiła o Δt2 = 60C - 30C = 30C

Ciepła woda podczas ochładzania się oddaje tyle energii:
ΔE3 = Δt2 * m2 * cw

Dodatkowo wiemy, że ciepła woda z energii ΔE3 oddaje 10% do otoczenia, zatem tylko 90% tej energii zostaje wykorzystane do ogrzania wody i stali.
Niech s oznacza ten współczynnik, czyli s = 90%

Z zasady zachowania energii mamy następujące równanie:

s * ΔE3 = ΔE1 + ΔE2

W tym równaniu mamy tylko jedną niewiadomą: m2
Podstawmy wszystkie dane i obliczmy ją!

s * Δt2 * m2 * cw = ΔE1 + ΔE2
m2 = (ΔE1 + ΔE2) / (s * Δt2 * cw)

m2 = (Δt1 * m1 * cw + Δt1 * ms * cs) / (s * Δt2 * cw)

m2 = (Δt1 * ro * V * cw + Δt1 * ms * cs) / (s * Δt2 * cw)

m2 = (10 * 30 * 4200 + 10 * 50 * 447) / (90% * 30 * 4200)
= (1260000 + 223500) / (126000 * 90%) =
= 1483500 / 113400 ≈ 13.0820106 kg

Mam nadzieję, że nie pomyliłem się w obliczeniach, ale za to wzory są dobre, więc proszę o skontrolowanie mnie i przeliczenie tego wszystkiego samodzielnie na podstawie tych wzorów. Powinno wyjść podobnie.
Intuicyjnie wydaje się, że wynik jest dobry...