Question

Liczby -1,1,3 są pierwiastkami wielomianu w(x) stopnia 3 i w(5)=-96. Jaką wartość ma współczynnik przy x³?

Proszę o dokładne wytłumaczenie, inaczej zgłaszam jako spam.

Answer 1

Najpierw znajdziemy sobie ogólny wzorek dla wielomianu 3 stopnia
stopień wielomianu to najwyższa potęga w jakiej jest x
czyli wielomian 3 stopnia będzie wyglądał następująco:
W(x)=ax³+bx²+cx+d

tyle tylko, że ta postać w tym zadaniu jest dla nas zupełnie bezużyteczna :)
przyda się nam postać po rozłożeniu takiego wielomianu na czynniki liniowe:
W(x)=a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)
gdzie x₁, x₂, x₃ są pierwiastkami tego wielomianu

u nas: x₁=-1, x₂=1, x₃=3 czyli wielomianek wygląda tak:
W(x)=a(x+1)(x-1)(x-3)=a(x²-1)(x-3)=a(x³-3x²-x+3)= ax³-3ax²-ax+3a

teraz wiemy, że W(5)=-96
więc podstawmy 5 w miejsce x do wielomianku który mamy powyżej
W(5)=a*5³-3a*5²-5a+3a=125a-75a-5a+3a=50a-5a+3a=48a

48a=-96
a=-2

współczynnik przy x³=a, czyli -2