Question

Rozwiąż równania
1)sin2x+2sinx=1+cosx
2)sin4x=cos2x

Za dwa daje najlepszą.

Answer 1

Rozwiąż równania
1)sin2x+2sinx=1+cosx

Stosuje wzór sin 2x = 2 sin x *cos x
2sinx* cosx + 2 sinx = 1 + cosx
2 sinx( cosx + 1) = 1 + cos x
2sinx = (1 + cosx ): ( cos x +1)
2 sin x = 1 /:2
sin x = 1/2
Jest to równanie elementarne
Nalezy znależć taki kat xo, dla którego sinus ma wartość 1/2
Takim katem jest π/6( 30°)
czyli xo = π/6
teraz korzystam z gotowych już wzorów na serie rozwiazań z sinusem.
Są nimi:
x = xo + 2kπ, k ∈ c
lub
x = π - xo + 2kπ , k∈ C
Znalezioną wartosć xo wstawiam do wzorów na serie rozwiazań
x = π/6 + 2kπ lub x = π - π/6 + 2kπ , k ∈ C
czyli:
x = π/6 + 2kπ lub x = (5/6)π + 2kπ , k ∈ C


2)sin4x=cos2x
Korzystam ze wzoru: sin 2x = 2 sinx * cosx
oraz analogicznie : sin 4x = 2sin2x *cos2x

2 sin 2x*cos 2x = cos 2x
2 sin 2x*cos 2x - cos 2x = 0
cos 2x ( 2sin2x - 1) = 0
cos 2x = 0 lub 2 sin2x -1 = 0
cos2x = 0 lub 2 sin 2x = 1 /:2
sin2x = 1/2
sa to równania elementarne, które nalezy rozwiazać osobno
Najpierw rozwiazuję
cos 2x = 0
Szukam takiego kata dla którego cosinus wynosi zero
Takim katem jest π/2 ( 90°)
2x = xo + kπ , k ∈ C
2x = π/2 + kπ /:2
x = π/4 + 1/2kπ , k ∈ C

Teraz rozwiazuję równanie
sin2x = 1/2
Należy znależć taki kat xo, dla którego sinus ma wartość 1/2
Takim katem jest π/6 ( 30°)
xo = π/6
Teraz korzystam z gotowych już wzorów na serie rozwiazań z sinusem.
Sa nimi:
x = xo + 2kπ lub x = π - xo + 2kπ , k ∈ C
Znaleziona wartość xo wstawiam do wzorów na serie rozwiązań.
2x = π/6 + 2kπ lub x = π - xo + 2kπ, k ∈ C
czyli:
2x = π/6 + 2kπ /:2 lub x = (5/6)π + 2kπ /:2 k ∈ C
x = π/12 + kπ lub x = (5/12)π + kπ , k ∈ C

Rozwiazaniem równania są:
x = π/4 + 1/2kπ , k ∈ C lub
x = π/12 + kπ , k ∈ C lub
x = (5/12)π + kπ , k ∈ C