Question

Rozwiąż nierówność.

log₃²x+ log₃x<2

log²0,5 x- 5log 0,5 x+4≤0

log²0,1 x-5log0,1 x-6≤0

2log²₄x≥1-log₄x

log₂³-4log₂x≥0

log³2x- log²2x≥0

Answer 1

Rozwiąż nierówność.

log₃²x+ log₃x<2 x>0
log₃x=t

t²+t-2<0
Δ=1+8=9
√Δ=3
t₁=-2 lub t₂=1

parabola, ramiona w górę
t∈(-2;1)
-2<t<1
-2<log₃x<1
log₃ 3⁻²<log₃x<log₃ 3
3⁻²<x< 3
1/9<x< 3

x∈(1/9;3)

log²0,5 x- 5log 0,5 x+4≤0 x>0
log 0,5 x=t

t²-5t+4≤0
Δ=25-16=9
√Δ=3
t₁=4 lub t₂=1

parabola, ramiona w górę
t∈<1;4>
1≤t≤4
1≤log 0,5 x≤4
log 0,5 0,5¹≤log 0,5 x
log 0,5 x≤log 0,5 0,5⁴
1/2≥x
x≥1/16
1/16≤x≤ 1/2

x∈<1/16;1/2>

log²0,1 x-5log0,1 x-6≤0 x>0

log 0,1x=t

t²-5t-6>0
Δ=25+24=49
√Δ=7
t₁=6 lub t₂=-1

parabola, ramiona w górę
t∈(-∞;-1)u(6;+∞)

t>6 lub t<-1
log 0,1 x>6 lub log 0,1 x<-1
log 0,1 x>log 0,1 o,1⁶ lub log 0,1 x<log 0,1⁻¹
x<o,1⁶ lub x>10

x∈(-∞;o,1⁶)u(10;+∞)

2log²₄x≥1-log₄x x>0
log₄x=t

2t²+t-1>0
Δ=1+8=9
√Δ=3
t₁=1/2 lub t₂=-1

parabola, ramiona w górę
t<-1 lub t>1/2
log₄x<-1 lub log₄x>1/2
log₄x<log₄ 4⁻¹ lub log₄x>log₄ 4^1/2
x< 1/4 lub x>√4
x< 1/4 lub x>2

x∈(-∞;1/4)u(2;+∞)

log₂³-4log₂x≥0 x>0

log₂x=t

t³-4t≥0
t(t²-4)≥0
t₁=-2 lub t₂=2 lub t=0

fala, od końca dodatnia, z góry rysowana

t∈<-2;0>u<2;+∞)
-2≤t≤0 lub t≥2
-2≤log₂x≤0 lub log₂x≥2
log₂ 2⁻²≤log₂x≤log₂ 2⁰ lub log₂x≥log₂ 2²
2⁻²≤x≤1 lub x≥ 2²
1/4≤x≤1 lub x≥ 4

x∈<1/4;1>u<4;+∞)

log³2x- log²2x≥0

log₂x=t

t³-t²≥0
t²(t-1)≥0
t₁=0 2krotny lub t=1

fala, od końca dodatnia, z góry rysowana w zerze następuje odbicie

t∈<1;+∞)u{0}
t=0 lub t≥1

log₂x=0 lub log₂x≥1
log₂x=log₂ 2⁰ lub log₂x≥log₂ 2¹
x=1 lub x≥ 2

x∈<2;+∞)u{1}