Question

Rozważmy sztucznego satelitę Ziemi znajdującego się na orbicie kołowej. Ustalić, jak wraz ze zmianą promienia r orbity zmieniają się następujące własności tego satelity:

a. okres,

b. energia kinetyczna,

c. moment pędu,

d. prędkość.

Docenię każdą pomoc w formie wyjaśnień (Nie trzeba mi oczywiście tłumaczyć zasad działania takiego statelity!) Proszę o objaśnienia wszelkich praw i zasad z jakich wynika dany wzór etc.

Pozdrawiam

Answer 1

Witam,

 

(a)  jak zmienia się okres? 

 

dla orbity kołowej: długość okręgu wynosi:  L = 2 * pi * r

a także dla ruchu jednostajnego po okręgu:  L = v * T    v - prędkość liniowa  (s=v*t)

 

zatem przyrównując oba wzory:    2 * pi * r = v * T    / : v

(2 * pi * r) / v = T        r ~ T

 

wobec tego:   wraz ze wzrostem promienia orbity rośnie okres obiegu satelity

 

(b)  energia kinetyczna ?

 

z definicji energii kinetycznej:   Ek = m * v^2 / 2

oraz z definicji energii potencjalnej grawitacji:   Ep = - GMm / r

 

przyrównują do siebie wzory na siłę dośrodkową w ruchu po okręgu:

 

m * v^2 / r = GMm / r^2       / * r

m * v^2 = GMm / r

 

wracając do energii kinetycznej:

Ek = m * v^2 / 2

Ek = 1/2 * GMm / r      r ~ 1 / Ek

 

zatem:  im większy promień orbity, tym mniejsza energia kinetyczna satelity

 

(c) moment pędu ?

 

z definicji momentu pędu:   L = r * p  (już w postaci skalarnej, nie wektorowej)

p - pęd   z definicji pędu:  p = m * v

 

zatem:   L = r * m * v    prędkość bierzemy z podpunktu (d)

v = pierw {GM / r}

 

L = pierw {GMm^2*r^2 / 2}

L = pierw {GMm^2 * r}         r ~ L^2

 

czyli:  im większy promień orbity, tym większy moment pędu (rośnie z kwadratem)

 

(d)  prędkość satelity?

 

wykorzystując poprzedni wzór:   m * v^2 = GMm / r    wyznaczmy prędkość:

 

m * v^2 = GMm / r   / : m

v^2 = GM / r

v = pierw {GM / r}      r ~ 1 / v^2

 

zatem:  im większy promień orbity, tym mniejsza prędkość satelity (maleje z kwadratem)

========================================================

proszę bardzo, pozdrawiam :)