Question

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x+3) jest rowna 1, natomiast z dzielenia przez dwumian (x-1) jest rowna 5. wyznacz reszte z dzielenia wielomianu w(x) przez wielomian (x+3)(x-1).

odp:
R(x)=x+4
bardzo dokladne obliczenia

Answer 1

Dzieląc wielomian W(x) przez P(x) otrzymujemy takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), że: W(x) = Q(x) · P(x) + R(x), gdzie Q(x) to wynik dzielenia (iloraz), a R(x) to reszta z dzielenia.

 

Zatem:

W(x) = Q₁(x) · (x + 3) + 1

W(x) = Q₂(x) · (x - 1) + 5

 

W(x) = Q₃(x) · (x+3)(x-1) + R(x)

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) jest równa zero albo stopień reszty jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x)

Jeśli dzielimy W(x) przez P(x) = (x+3)(x-1) = x² + 2x - 3, czyli przez wielomian stopnia 2, to reszta R(x) może być co najwyżej stopnia 1, czyli  R(x) = ax + b

Stąd:

W(x) = Q₃(x) · (x+3)(x-1) + ax + b

 

Porównując tę równość z równościami: W(x) = Q₁(x) · (x + 3) + 1 i W(x) = Q₂(x) · (x - 1) + 5 otrzymamy:

 

Q₁(x) · (x + 3) + 1 = Q₃(x) · (x+3)(x-1) + ax + b

Wstawiamy teraz w tej równości x = - 3 [liczba - 3 to miejsce zerowe dwumianu (x+3) i wtedy iloczyn Q(x) · P(x) będzie równy zero] i otrzymujemy:

Q₁(-3) · (-3 + 3) + 1 = Q₃(-3) · (-3+3)(-3-1) + a·(-3) + b

Q₁(-3) · 0 + 1 = Q₃(-3) · 0 ·(-4) - 3a + b

1 = - 3a + b

- 3a + b = 1

 

Q₂(x) · (x - 1) + 5 = Q₃(x) · (x+3)(x-1) + ax + b

Wstawiamy teraz w tej równości x = 1 [liczba 1 to miejsce zerowe dwumianu (x-1) i wtedy iloczyn Q(x) · P(x) będzie równy zero] i otrzymujemy:

Q₂(1) · (1 - 1) + 5 = Q₃(1) · (1+3)(1-1) + a·1 + b

Q₂(1) · 0 + 5 = Q₃(1) · 4 · 0 + a + b

5 = a + b

a + b = 5

 

Zatem mamy układ dwóch równań:

_____________________

 

 

 

Zatem reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian (x+3)(x-1) jest równa: