W trapez prostokątny ABCD ( AB II CD, AD prostopadłe do AB) o krótszej podst. DC = 3 wpisano okrąg o.... Question from @Burdyn

December 2018 1 51 Report

W trapez prostokątny ABCD ( AB II CD, AD prostopadłe do AB) o krótszej podst. DC = 3 wpisano okrąg o środku o i r=2. Udowodnij że trójkąt BOC jest prostokątny oraz oblicz stosunek r/R w trójkącie BOC (promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do promienia okrągu na nim opisanego).

ghe $|AD|=2r=2 \cdot 2=4$

Obliczam miarę kąta $\alpha$

$|\angle ABC|=\beta$

$|\angle OBC|=|\angle ABO|= \frac{\beta}{2}$

$|\angle BCD|=180^o-\beta$

$|\angle OCB|=|\angle ODC|= \frac{180^o-\beta}{2}=90^o-\frac{\beta}{2}$

$\alpha=180^o-(|\angle OBC|+|\angle OCB|)=180^o-(\frac{\beta}{2}+90^o-\frac{\beta}{2})=180^o-90^o=90^o$
------------------------------------
Obliczam $|CE|$
Trójkąty OEC i OCF są przystające
$|CE|=|FC|=|DC|-|DF|$

$|CE|=3-1$

$|CE|=1$

Obliczam $a$
$a^2=|CE|^2+r^2$

$a^2=1^2+2^2$

$a^2=1+4$

$a^2=5$

$a=\sqrt{5}$

Obliczam $b$
Trójkąty OBE i OEC są podobne
$\frac{|CE|}{a}=\frac{r}{b}$

$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{2}{b}$

$b=2\sqrt{5}$

Obliczam $c$
$c^2=a^2+b^2$

$c^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2$

$c^2=5+20$

$c^2=25$

$c= \sqrt{25}$

$c=5$

Obliczam promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
$r_1=\frac{a+b-c}{2}$

$r_1=\frac{\sqrt{5} +2 \sqrt{5}-5}{2}$

$r_1=\frac{3\sqrt{5}-5}{2}$

Obliczam promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym
$R=\frac{c}{2}$

$R=\frac{5}{2}$

Obliczam stosunek promieni
$\frac{r_1}{R}= \frac{\frac{3\sqrt{5}-5}{2}}{\frac{5}{2}}$

$\frac{r_1}{R}=\frac{3\sqrt{5}-5}{5}}$

3 votes Thanks 3