Question

Punkty A(3,0), B(3,6) C(0,3) są wierzchołkami trójkąta. Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt.

Answer 1

a = I ABI = 6 - 0 = 6

h = 3 - 0 = 3

Pole trójkąta ABC

P = (1/2)a*h = (1/2)*6*3 = 9

=============================

b = I A C I

c = I BC I

zatem

b^2 = I AC I^2 = ( 0 -3)^2 + (3 - 0)^2 = 9 + 9 = 9*2

b = 3 p(2)

============

c^2 = I BC I^2 = ( 0 -3)^2 + (3 - 6)^2 = 9 + 9 = 9*2

c = 3 p(2)

===========

b = c

 

Aby obliczyć promień koła opisanego na tym trójkącie korzystamy z wzoru

P = [a*b*c]/( 4 R)

Po podstwiewniu mamy

9 = [ 6*3 p(2)*3 p(2)]/( 4 R)

9 = [6*9*2]/ ( 4 R )

1 = [ 6*2 ]/ ( 4 R )

12 = 4 R

R = 3

======

Aby obliczyć promień koła wpisanego w trójkąt korzystamy z wzoru

P = p*r

p = [ a+b + c]/2 = [ 6 + 3 p(2) + 3 p(2) ]/2 = 3 + 3 p(2)

r = P / p

r = 9/[ 3 +  3 p(2) ] = 3/[1 + p(2) ]

Pole koła opisanego

Po = pi*R^2 = pi*3^2 = 9 pi

===========================

Pole koła wpisanego

r^2 = [ 3/(1 + p(2)) ]^2 = 9/[1 + 2 p(2) + 2 ] = 9/[ 3 + 2 p(2)] =

= [ 9*( 3 - 2 p(2))]/ [ ( 3 + 2 p(2))*(3 - 2p(2))] = [27 - 18 p(2)]/(9 - 8) = 27 - 18 p(2)

 

Pw = pi *r^2 = pi* [ 27 - 18 p(2) ]

czyli

Po / Pw = [ 9 pi ] / [ (27 - 18 p(2)) pi ] = 9/ [ 27 - 18 p(2)] = 1 / [ 3 - 2 p(2)] =

= 3 + 2 p(2)

=============