Question

Punkty A, B, C, także że A= (-4,1) B= (1,6) C=(8,-3) sa kolejnymi wierzchołkami równolegoboku ABCD. Wyznacz współrzędne punktu D;

Answer 1

Punkty A, B, C, także że A= (-4,1) B= (1,6) C=(8,-3) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz współrzędne punktu D.

Równanie kierunkowe prostej: y = ax + b
Równanie prostej przechodzącej przez punkty A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) ma równanie: (x₂ - x₁)(y - y₁) = (y₂ - y₁)(x - x₁)
Proste o równaniach y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy a₁ = a₂

A = (-4,1) B = (1,6) C =(8,-3)
1. Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B
(1 + 4)(y - 1) = (6 - 1)(x + 4)
5(y - 1) = 5(x + 4)
5y - 5 = 5x + 20
5y = 5x + 20 + 5
5y = 5x + 25 /:5
y = x + 5
2. Wyznaczamy prostą równoległą do prostej y = x + 5 i przechodzącą przez punkt C
y = ax + b
a = 1 (bo proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe), otrzymujemy więc
y = x + b (podstawiamy współrzędne punktu C, aby obliczyć b)
- 3 = 8 + b
b = - 11
stąd y = x - 11
3. Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty B i C
(8 - 1)(y - 6) = (-3 - 6)(x - 1)
7(y - 6) = - 9(x - 1)
7y - 42 = - 9x + 9
7y = - 9x + 9 + 42
7y = - 9x + 51 /:7
y = - ⁹/₇ x + ⁵¹/₇
4. Wyznaczamy prostą równoległą do prostej y = - ⁹/₇ x + ⁵¹/₇ i przechodzącą przez punkt A
y = ax + b
a = - ⁹/₇ (bo proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe), otrzymujemy więc
y = - ⁹/₇ x + b (podstawiamy współrzędne punktu C, aby obliczyć b)
1 = - ⁹/₇ * (- 4) + b
1 = ³⁶/₇ + b
b = 1 - ³⁶/₇ = - ²⁹/₇
stąd y = - ⁹/₇ x - ²⁹/₇
5. Wyznaczamy współrzędne punktu D, czyli punktu należącego do prostej y = x - 11 i y = - ⁹/₇ x - ²⁹/₇, a to oznacza, że współrzędne punktu D spełniają jednocześnie oba równania.
( y = x - 11
( y = - ⁹/₇ x - ²⁹/₇

( y - x = - 11 /*(-1)
( y + ⁹/₇ x = - ²⁹/₇

( - y + x = 11
( y + ⁹/₇ x = - ²⁹/₇
__________________
x + ⁹/₇ x = 11 - ²⁹/₇
⁷/₇ x + ⁹/₇ x = ⁷⁷/₇ - ²⁹/₇
¹⁶/₇ x = ⁴⁸/₇ /* 7
16x = 48 / :16
x = 3

y = x - 11
y = 3 - 11
y = - 8

( x = 3
( y = -8

Odp. Punkt D ma współrzędne 3 i - 8, czyli D = (3, - 8).