Question

Punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, punkty A1,B1,C1 są środkami boków, a punkty K,L,M są środkami odcinków SA,SB,SC. Udowodnij, że trójkąt A1B1C1 = trójkątowi KLM

Answer 1

Trojkat A1B1C1 podobne do ABC w skali 1:2
Nalezy wykorzystac twierdzenie:
Dosrodkowe dziela sie w stosunku 1:2
liczac od podstawy
CM=1/2CS
i
AK=1/2=AS
Wiec z podobienstwa
KM=1/2AC

Podobnie z kazdym bokiem


Pozdrawiam

Hans

Answer 2

Skorzystamy z własności: "Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie długości tego boku"
Ponieważ A₁ to środek boku BC, a B₁ to środek boku AC
to: A₁B₁ II AB i |A₁B₁| = ½*|AB|
Ponieważ B₁ to środek boku AC, a C₁ to środek boku AB
to: B₁C₁ II BC i |B₁C₁| = ½*|CB|
Ponieważ C₁ to środek boku AB, a A₁ to środek boku BC
to: A₁C₁ II AC i |A₁C₁| = ½*|AC|

ΔASB
Ponieważ K to środek boku AS, a L to środek boku BS
to: KL II AB i |KL| = ½*|AB|
ΔBSC
Ponieważ L to środek boku BS, a M to środek boku CS
to: LM II CB i |LM| = ½*|CB|
ΔASC
Ponieważ K to środek boku AS, a M to środek boku CS
to: KM II AC i |KM| = ½*|AC|
czyli
|A₁B₁| = |KL| = ½*|AB|
|B₁C₁| = |LM| = ½*|CB|
|A₁C₁| = |KM| = ½*|AC|
stąd na podstawie:
"Dwa trójkąty są przystające jeśli długości boków jednego trójkąta są odpowiednio równe długościom boków drugiego trójkąta (cecha bbb)" wnioskujemy, że
ΔA₁B₁C₁ jest przystający do ΔKLM, co należało udowodnić.