Question

Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 25 cm i tworzy z krawędzią podstawy kąt α taki ze sinα = o,96 .oblicz objętość tego graniastosłupa (V=Pp × H)

Answer 1

V = Pp*H
Pp = a²
D = 25 - przekątna graniastosłupa
b - przekątna podstawy
d - przekątna ściany bocznej
a - krawędź podstawy

sinα = d/D
d = D*sinα

z tw. Pitagorasa:
D² = a² + d²
a² = D² - d² = D²(1 - sin²α)

z połowy kwadratu
b = a√2

z tw. Pitagorasa:
H² + b² = D²
H² = D² - 2a² = D² - 2D²(1 - sin²α) = D²(2sin²α - 1)
H = D√(2sin²α - 1)

V = a²*H = D²(1 - sin²α) * D√(2sin²α - 1) = D³*(1 - sin²α)*√(2sin²α - 1)
V = 15625 * (1 - 0,9216) * √(2*0,9216 - 1) ≈ 1124,87

jak masz pytania pisz na pw

Answer 2

Graniastosłup prawidłowy czworokątny to po prostu prostopadłościan.
Dodatkowo jego podstawa jest kwadratem... przyjmijmy, że ten kwadrat ma długość a
Niech ponadto wysokość prostopadłościanu to H

V = Pp * H = a * a * H

Wiemy, że przekątna ma długość d = 25cm
Poza tym przekątna d tworzy z krawędzią podstawy a kąt α, taki że sinα = 0,96

W prostopadłościanie mamy trójkąt złożony z następujących odcinków:
d - przekątna prostopadłościanu
a - krawędź podstawy
x - przekątna ściany bocznej prostopadłościanu (odcinek łączący te dwa końce przekątnej d i krawędzi a, które nie są wspólne)

x jest przekątną prostokąta o wymiarach a i H

skoro sinα = 0,96 to możemy sobie wyliczyć cosα z jedynki trygonometrycznej:
cos²α = 1 - sin²α = 1 - 0,96 * 0,96 = 1 - 0,9216 = 0,0784

Stąd cosα = √(0,0784) = 0,28

Z drugiej strony, cosα = a / d
Czyli a = d * cosα = 25 * 0,28 = 7

Teraz policzmy x.
Z definicji sinusa mamy:
sinα = x / d
czyli x = d * sinα = 25 * 0,96 = 24

Teraz jeszcze musimy zauważyć, że x, a oraz H są związane ze sobą twierdzeniem Pitagorasa (bo x jest długością przekątnej prostokąta ściany bocznej, o wymiarach a i H)

Czyli x² = a² + H²
czyli:
H² = x² - a² = 24*24 - 7*7 = 576 - 49 = 527
H = √527
Czyli V = a * a * H = 7 * 7 * √527 = 49√527 ≈ 1124,87