Question

Pręt o masie 0,2kg i długości 0,15m osadzono na osi przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do pręta. Jaki ciężarek należy umocować na jednym z końców tego pręta, aby stał się on wahadłem sekundowym?

odpowiedź to: 0,3kg

Answer 1

Mamy doczynienia z wahadłem fizycznym. W wahadle tym należy znaleźć odległość s środka masy od punktu zaczepienia oraz jego moment bezwładności I liczony względem punktu zaczepienia, aby obliczyć okres:

gdzie Mc to suma masy pręta m i ciężarka M.

 

1. Środek masy. Pręt jest jednowymiarowy i jednorodny, zatem środek masy każdego z odcinków pręta znajduje się zawsze w połowie. Przybliżmy więc pręt jako dwa odcinki różnej długości x i y, gdzie punktem przecięcia prętu będzie środek masy. y to zarazem punkt zaczepienia ciężarka. W związku z tym możemy skonstruować następujące równanie:

Korzystając z jednorodności pręta możemy wyznaczyć jego gęstość liniową (odpowiednik gęstości tylko w jednym wymiarze):

Co pozwala obliczyć masy odcinków pręta:

Jako, że x+y=L. Zatem:

Zatem:

Ponadto

Czyli

 

2. Moment bezwładności dodaje się, więc mamy doczynienia z sumą momentu bezwładności pręta oraz punktowej masy.

Moment bezwładności pręta wynosi:

Moment punktowej masy, to

,

bo punkt zaczepienia znajduje się w połowie pręda, czyli r=L/2, zatem łącznie:

 

Pozostaje całość podstawić do wzoru na okres:

 

Pozostaje tylko to rozwiązać równanie kwadratowe z M jako niewiadomą, jako ćwiczenie ;)

Answer 2

M - szukana masa ciężarka

m = 0.2 kg

L = 0.15 m

 

 

Położenie środka masy układu względem srodka pręta:

d = M·(L/2)/(m + M) = M·L/(2·(m + M))

 

Moment bezwładności układu względem osi obrotu:

I = m·L²/12 + M·(L/2)² = (m + 3·M)·L² /12

 

Okres wahań wahadła fizycznego:

T = 2·π·√(I/((m+M)·g·d))

 

Po wstawieniu wcześniejszych zależnosci mamy:

T = 2·π·√{ [(m + 3·M)·L² /12] / ((m+M)·g·M·L/(2·(m + M))) }

T = 2·π·√{ (m + 3·M)·L  / (6·g·M) }

T² = 4·π²·(m + 3·M)·L  / (6·g·M)

1.5·T²·g·M = π²·m·L + 3·π²·M·L

3·M·(0.5·T²·g - π²·L) = π²·m·L

M = π²·m·L / [3·(0.5·T²·g - π²·L)]

M = 3.14²·0.2·0.15 / [3·(0.5·1²·9.81 - 3.14²·0.15)] = 0.029 kg