Proszę serdecznie o pomoc z wytłumaczeniem. Dla jakiej wartości parametru równanie posiada 1 rozwią.... Question from @Undead22

December 2018 1 33 Report

Proszę serdecznie o pomoc z wytłumaczeniem.

Dla jakiej wartości parametru $m$ równanie posiada 1 rozwiązanie?

$\log_3(x-m)+\log_3x=\log_3(3x-4)$

1. Rozpatruję dziedzinę dla równania kwadratowego (tutaj już pojawia się problem z $m$ , ponieważ nie potrafie z tych 3ch warunków ustalić przedziałów dla m):

$x>m\\ x>0\\ x> \frac{4}{3}$

I przechodzę do postaci równania kwadratowego:

$x^2-xm=3x-4\\ x^2-x(m+3)+4=0\\ \Delta=(m+3)^2-16=(m-1)(m+7)=0\\ m=1 \vee m=-7$

Dla $m=1$ wszystko się zgadza, ale dla $m=-7$ :

$x^2+4x+4=0\\ (x+2)^2=0\\ x_1=-2 \notin Dz: \{ x>0 \wedge x> \frac{4}{3} \}$

I tutaj kończy się równanie kwadratowe (dalej nie wiem, do jakich przedziałów ma należeć m). Teraz przechodzę do postaci liniowej:

2.

Tutaj wystarczy, że $\log_3x\in R+$ przy czym $x> \frac{4}{3}$ .

I mamy przykładowo, dla $x=3$ \\

$\log_3(3-m)+\log_33=\log_3(9-4)\\ 9-3m=5\\ -3m=-4\\ m= \frac{4}{3}$

Dla x=9 mamy kolejną wartość m, dla której to równanie ma jedno rozwiązanie.

I na tym się zatrzymuję, nie wiem, jak sobie z tym dalej poradzić.

Z góry dziękuję za pomoc.

Paawełek Pierwszy przypadek wyznaczyłeś: m=1

Rozpatrzamy przypadki:
x1 nie należy do dziedziny i x2 należy
x1 należy do dziedziny i x2 nie należy

Pierwszy warunek:
$x_1\le\frac{4}{3} \\ \\ x_2>\frac{4}{3} \\ \\ x_2>m$

Zauważ, że:
$x^2-x(m+3)+4=0 \\ \Delta=(m-1)(m+7) \\ \\ x_1=\dfrac{m+3+\sqrt{(m-1)(m+7)}}{2} \\ \\ x_2=\dfrac{m+3-\sqrt{(m-1)(m+7)}}{2}$

Wyznaczam pierwszy warunek:

$\dfrac{m+3+\sqrt{(m-1)(m+7)}}{2}\le\frac{4}{3} \qquad /\cdot 2 \\ \\ \sqrt{(m-1)(m+7)}\le-m-\frac{1}{3} \\ \\ \hbox{Jest to niespelnione gdy:} \\ \\ -m-\frac{1}{3}<0 \\ \\ m+\frac{1}{3}>0 \\ \\ m>-\frac{1}{3} \\ \\ \hbox{W przeciwnym razie podnosze do kwadratu:} \\ \\ (m-1)(m+7)\le(-m-\frac{1}{3})^2 \\ \\ m^2+6m-7\lem^2+\frac{2}{3}m+\frac{1}{9} \\ \\ \frac{16}{3}m \le\frac{64}{9} \qquad /\cdot \frac{3}{16} \\ \\ m\le\frac{4}{3}$

Uwzględniając dziedzinę na "m" pod pierwiastkiem otrzymamy m <= -7

Drugi warunek to x2 > 4/3

$\dfrac{m+3-\sqrt{(m-1)(m+7)}}{2}>\frac{4}{3} \\ \\ -\sqrt{(m-1)(m+7)}>-m-\frac{1}{3} \qquad /\cdot (-1) \\ \\ \sqrt{(m-1)(m+7)}<m+\frac{1}{3} \\ \hbox{na pewno NIE jest to spelnione gdy:} \\ m+\frac{1}[3}<0 \\ m<-\frac{1}{3}$
Nie ma sensu podnosić do kwadratu ponieważ ja szukam części wspólnej, a to nie istnieje, bo zbiór m<= -7 nie pasuje do zbioru rozwiązan.

No więc odrzucam całkowicie ten przypadek. Rozpatrzam ostatni przypadek:

Drugi warunek:

$x_1>\frac{4}{3} \\ x_2\le\frac{4}{3} \\ x_2<m$

$\dfrac{m+3+\sqrt{(m-1)(m+7)}}{2} >\frac{4}{3} \\ \\ \sqrt{(m-1)(m+7)}>-m-\frac{1}{3} \\ \\ \hbox{Na pewno jest to spelnione gdy:} \\ \\ -m-\frac{1}{3}<0\\ \\ m+\frac{1}{3}>0 \\ m>-\frac{1}{3} \\ \hbox{W przeciwnym razie podnosze do kwadratu:} \\ (m-1)(m+7)>(-m-\frac{1}{3})^2 \\ m^2+6m-7>m^2+\frac{2}{3}m+\frac{1}{9} \\ \frac{16}{3}m>\frac{64}{9} \qquad /\cdot \frac{16}{3} \\ m>\frac{4}{3} \\ \hbox{Uwzgledniajac dziedzine pierwiastka:} \\ m\ge 1$

$> Część wspólna tych rozwiązań to x>= 4/3. Wyznaczam ostatni z warunków: <img src=$

JEst to równanie tożsamościowe więc m>=1

Wyznaczając część wspólną otrzymujemy odpowiedź:

Równanie ma jedno rozwiązanie dla $m \ge \frac{4}{3}$ oraz dla m=1 który wyznaczyłeś w treści pytania

2 votes Thanks 1