Proszę o pomoc w zadankach !.... Question from @pisziokolicenew

November 2018 1 13 Report

Proszę o pomoc w zadankach !

Roma

Zad. 9

$5x(7x - 4)(x +9)^3 = 0 \\\ 5x = 0 \ \wedge \ 7x - 4 = 0 \ \wedge \ (x+9)^3 = 0 \\\\ 5x = 0 \ /:5 \\\ x = 0 \\\\ 7x - 4 = 0 \\\ 7x = 4 \ : 7 \\\ x = \frac{4}{7} \\\\ (x+9)^3 = 0 \ /^{\sqrt[3]{}} \\\ x+9 = 0 \\\ x = - 9 \ \ (pierwiastek \ 3-krotny)$

Odp. $x = - 9, \ x = 0, \ x = \frac{4}{7}$

$x^4 - 25x^2 = 0 \\\ x^2 \cdot (x^2 - 25) = 0 \\\ x^2 \cdot (x^2 - 5^2) = 0 \\\ x^2 \cdot (x - 5)(x+5) = 0 \\\ x^2 = 0 \ /^{\sqrt{}} \ \vee \ x - 5 = 0 \ \vee \ x+ 5 = 0 \\\ x = 0 \ \ \vee \ x = 5 \ \vee \ x = - 5$

Odp. $x = - 5, \ x = 0, \ x = 5$

$\frac{3x-1}{x+2} = 1$

Zał.

x + 2 ≠ 0

x ≠ - 2

$\frac{3x-1}{x+2} = 1 \ / \cdot (x - 2) \\\ 3x - 1 = x +2 \\\ 3x - x = 2 +1 \\\ 2x = 3 \ /:2 \\\ x = 1,5$

Odp. $x = 1,5$

$x^3 - 3x^2 - 4x+12 = 0 \\\ x^2 \cdot (x - 3) - 4 \cdot (x - 3) = 0 \\\ (x-3)(x^2 - 4) = 0 \\\ (x - 3)(x - 2)(x+2) = 0 \\\ x - 3 = 0 \ \vee \ x - 2 = 0 \ \vee \ x +2 = 0 \\\ x = 3 \ \vee \ x = 2 \ \vee \ x = - 2$

Odp. $x = - 2, \ x = 2, \ x = 3$

Zad. 10

α - kąt ostry, czyli α ∈ (0°, 90°), więc funkcje trygonometryczne są dodatnie.

$sin \ \alpha = 0,8$

Wartość funkcji cos α, tg α i ctg α obliczamy korzystając z wynikających z definicji związków między funkcjami trygonometrycznymi:

$sin^2 \ \alpha + cos^2 \ \alpha = 1 \\\ cos^2 \ \alpha = 1 - sin^2 \ \alpha \\\ cos^2 \ \alpha = 1 - (0,8)^2 \\\ cos^2 \ \alpha = 1 - 0,64 \\\ cos^2 \ \alpha = 0,36 \\\ cos \ \alpha = 0,6$

$tg \ \alpha = \frac{sin \ \alpha}{cos \ \alpha} \\\\ tg \ \alpha = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8}{6} =\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \\\\ ctg \ \alpha = \frac{cos \ \alpha}{sin \ \alpha} \\\\ tg \ \alpha = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} =\frac{3}{4}$

$tg\ \alpha = 2$

Wartość funkcji ctg α, sin α i cos α obliczamy korzystając z wynikających z definicji związków między funkcjami trygonometrycznymi:

$ctg \ \alpha = \frac{1}{tg \ \alpha} \\\\ ctg \ \alpha = \frac{1}{2}$

$tg \ \alpha = \frac{sin \ \alpha}{cos \ \alpha} \\\\ \frac{sin \ \alpha}{cos \ \alpha} = 2 \ / \cdot cos \ \alpha \\\ sin \ \alpha = 2cos \ \alpha \\\\ sin^2 \ \alpha + cos^2 \ \alpha = 1 \\\ (2cos \ \alpha)^2+ cos^2 \ \alpha = 1 \\\ cos^2 \ \alpha + cos^2 \ \alpha = 1 \\\ 5cos^2 \ \alpha = 1 \ /:5 \\\ cos^2 \ \alpha = \frac{1}{5} \\\ cos \ \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} =\frac{\sqrt{5}}{5}$

$sin \ \alpha = 2cos \ \alpha \\\ sin \ \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Zad. 11

a, b, c - długość boków trójkąta

a', b', c' - długość boków trójkąta podobne

a = 9 cm

b = 12 cm

c = 15 cm

Najdłuższy bok trójkąta podobne ma długość 7 cm, zatem: c' = 7 cm

Stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa, zatem:

$k = \frac{c'}{c} = \frac{7}{15}$

$\frac{a'}{a} = k \\\\ \frac{a'}{9} = \frac{7}{15} \ / \cdot 9 \\\\ a' = \frac{7}{15} \cdot 9 = \frac{21}{5} = 4\frac{1}{5} = 4,2 \ cm$

$\frac{b'}{b} = k \\\\ \frac{b'}{12} = \frac{7}{15} \ / \cdot 12 \\\\ b' = \frac{7}{15} \cdot 12 = \frac{28}{5} = 5\frac{3}{5} = 5,6 \ cm$

$Obw = a' + b' + c' = 7 + 4,2 + 5,6 = 16,8 \ cm$

Odp. Boki trójkąta podobnego mają długość: 7 cm; 4,2 cm i 5,6 cm, a obwód wynosi 16,8 cm.

Zad. 12

Wykres ciągu $a_n = \frac{2}{n+1}; \ dla \ n < 6$

Wykres ciągu liczbowego składał się z punktów, których pierwsza współrzędna jest równa n, a druga współrzędna an.

$n = 1 \Rightarrow a_1 = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1, \ czyli \ punkt: \ (1; 1) \\\ n = 2 \Rightarrow a_2 = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}, \ czyli \ punkt: \ (2; \frac{2}{3}) \\\ n = 3 \Rightarrow a_3 = \frac{2}{3+1} = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \ czyli \ punkt: \ (3; \frac{1}{2}) \\\ n = 4 \Rightarrow a_4 = \frac{2}{4+1} = \frac{2}{5}, \ czyli \ punkt: \ (4; \frac{2}{5}) \\\ n = 5 \Rightarrow a_5 = \frac{2}{5+1} = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}, \ czyli \ punkt: \ (5; \frac{1}{3})$