Proszę o pomoc w wyjaśnieniu jednej zależności. Zadanie jest rozwiązane. Rysunek w załączniku.
Zad. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w czworościan foremny do objętości kuli opisanej na tym czworościanie.
Środek kuli opisanej na czworościanie to punkt, który jest jednakowo odległy, powiedzmy o R , od wszystkich wierzchołków. Podobnie, środek kuli wpisanej jest jednakowo odległy, powiedzmy o r , od wszystkich ścian. W przypadku czworościanu foremnego punkty te pokrywają się (jest to też punkt przecięcia się wysokości). To co mamy obliczyć, to iloraz
.
Korzystając z podobieństwa trójkątów
mamy:
I odpowiedź to
.
Chodzi mi o to, na jakiej podstawie wywnioskowano, że
. Czy to jest ogólna zależność, czy trzeba to wyprowadzić? Z góry dziękuję.
Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy wysokości trójkąta równobocznego, więc
Lub inaczej:
Wysokości trójkąta równobocznego to jednocześnie środkowe trójkąta, a te przecinają się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
Z tego mamy
więc