Question

Proste nierówności logarytmiczne.

1. Rozwiąż nierówności. Pamiętaj o określeniu dziedziny nierówności. Do liczenia dziedziny proszę nie przywiązywać dużej wagi, chodzi mi raczej o wyniki i jak do tego doszliscie)

ZGŁASZAM SPAM!!

Daję naj tylko jak ktoś to zrobi do 9:00 2 grudnia

Answer 1

Sprawdzenie dziedziny jest bardzo ważne, ponieważ często należy uwzględnić ją przy końcowej analizie wyniku - zbiór wyników może być pomniejszony o elementy spoza dziedziny.

Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich.

Nierówności rozwiązujemy w ten sposób, że obie strony doprowadzamy do logarytmów o tej samej podstawie i pamiętając o tym, że funkcja  logarytmu o podstawie większej od 1 jest rosnąca, a o podstawie  0 < p < 1 - malejąca, opuścić symbole logarytmów zostawiając same argumenty i przestawiając  znak mniejszości dla funkcji malejącej.

a)

Dziedzina wynika z warunku x-1 > 0

2 po prawej stronie zastępuję log₂2², bo logarytm to wykładnik potęgi, do której należy podnieść jego podstawę, aby otrzymać wartość logarytmowaną.

Spełnia dziedzinę.

 

W następnych punktach zaznaczę dziedzinę i zapiszę stan nierówności po opuszczeniu symboli log

 

b)

D = (-∞; 2)

2 - x ≤ 3

x ≥ -1

Po uwzględnieniu dziedziny:

x ∈ [-1; 2)

 

c)

D=R \ {3}

|x-3| > 2

Dla x > 3 mamy

x-3 > 2

x > 5

Dla x < 3

-(x-3) > 2

x-3 < -2

x < 1

Po uwzględnieniu dziedziny:

x ∈ (-∞;1) u (5; ∞)

 

d)

D = R \ {7}

|x-7| ≥ 1, co można rozpisać:

x-7 ≥ 1 lub x-7≤-1

x ≥ 8 lub x ≤ 6

Po uwzględnieniu dziedziny:

x ∈ (-∞;6] u [8; ∞)

 

e)

D = R, bo wyrażenie pod logarytmem dla dowolnego x jest dodatnie,

x²+3 > 2

x² > -1, spełnione dla dowolnego x

Po uwzględnieniu dziedziny:

x ∈ R

 

f)

x² - 4x > 0

x(x - 4) > 0

D = (-∞; 0) u (4; ∞)

x² - 4x ≥ 4

x² - 4x - 4 ≥ 0

Po wyliczeniu pierwiastków (Δ=32)

x ≤ 2 - 2√2 lub  x ≥ 2 + 2√2

 

Po uwzględnieniu dziedziny:

x ∈ (-∞; 2 - 2√2] u [2 + 2√2; ∞) = D

bo:

2 - 2√2 < 0,

2 + 2√2 > 4

więc dziedzina funkcji nie ogranicza zbioru wyników.

 

g)

5 + 4x - x² > 0

x²  - 4x - 5 < 0

Pierwiastki (Δ=36):
x = -1 lub x = 5

więc -1 < x < 5

D = (-1; 5)

Tutaj należy uważać: logarytm jest funkcją malejącą, bo podstawa p=1/2 jest dodatnim ułamkiem właściwym, czyli p < 1 oraz p > 0.

5 + 4x - x² < 8

Po prawej piszemy 8, bo ½ ⁻³ = 8

x² - 4x + 3 > 0

Δ = 16 - 12 = 4

Pierwiastki: x = 1 lub x = 3, czyli

x < 1 lub x > 3

Po uwzględnieniu dziedziny (bierzemy część wspólną dziedziny i zbioru wyniku)

x ∈ (-1; 1) u (3; 5)

Answer 2