Question

Zadanie 1
W trapezie o podstawach AB i CD dane
sa punkty: A=(5,2);B=(2,-4);C=(-1,-2).Wyznacz równanie prostej CD.

Zadanie 2
Punkt A=(2,-2)jest wierzchołkiem kwadratu ABCD, a prosta o równaniu y=3x+2zawiera bok BC tego kwadratu. Napisz równanie prostej AB. Oblicz pole kwadratu ABCD

Zadanie3
Maszyna wycina kółka z prostokątnych kawałków blachy w sposób pokazany na rysunku. Wyznacz długość dłuższego boku kawałka blachy potrzebnego do wycięcia takich kółek, jeżeli długość krótszego wynosi 40cm.

Zadanie 4
Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 12 pierwiastków z 2 i 9 pierwiastków z 2 a jego przekątne tego trapezu są prostopadłe? obliczyc pole i obwód tego trapezu.

Zadanie 5
dane są takie kąty ostre α i β, ze cosα=1/3 i sinβ=2/3/Posługując się wzorem cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,oblicz dokładną wartość cos(α-β)

Zadanie 6
Ola miała do przepisania na komputerze
30stron.W pierwszej godzinie przepisywanie jednej strony zajmowało jej 10minut,w drugiej -12minut,a w trzeciej -15minut.Po tym czasie Ola zrobiła sobie godzinną przerwę, po czym pisała jeszcze przez dwie godziny, poświęcając 12minut na każdą stronę. Przedstaw na wykresie,jak zmieniała się co godzine liczba stron, które pozostały do przepisania

Zadanie 7
Oblicz odległość punktu(-11,-8)od punktu przecięcia się prostych o równaniach 5x+2y+1=0 i 7x+3y+2=0.

Answer 1

z.1

A = (5;2), B = (2 ; -4), C = (-1 ; -2)

Najpierw wyznaczam równanie prostej AB

y = a x + b

2 = 5a + b

-4 =2a + b

------------- odejmujemy stronami

2 - (-4) = 5a + b - 2a - b

6 = 3a

a = 2

-----

b = 2 - 5*2 = 2 - 10 = - 8

------------------------------

zatem pr AB ma równanie:

y = 2 x - 8

============

Prosta CD jest równolegla do pr AB i przechodzi przez punkt  C = (-1 ; -2)

zatem

y = 2x + b1

-2 = 2*(-1) + b1

-2 = -2 + b1

b1 = 0

--------

Prosta CD ma równanie

y = 2x

=====================

z.2

A = ( 2; - 2)

prosta y = 3x + 2  zawiera bok BC kwadratu ABCD zatem punkt B leży na tej

prostej.Prosta AB  jest prostopadła do pr BC o równaniu  y = 3x + 2

i przechodzi przez punkt A = ( 2;-2)

pr AB:

3*a1 = - 1  => a1 = - 1/3

y = (- 1/3) x + b1

-2 = (-1/3)*2 + b1

-2 + 2/3 = b1

b1 = - 4/3

-------------

pr AB  ma równanie:

y = ( -1/3) x - 4/3

=====================

Punktem wspólnym pr AB  i  pr BC  jest punkt  B

zatem

y = (-1/3) x - 4/3

y = 3x + 2

------------------------

(-1/3) x - 4/3  = 3x + 2  / * 3

-x - 4 = 9x + 6

10x = -10

x = - 1

--------

y = 3*(-1) + 2 = -3 + 2 = - 1

--------------------------------

czyli  B = (-1; -1)

==================

A = ( 2 ; -2)  i   B = (-1 ; -1)

a = I AB I

a^2 = (- 1- 2)^2 + (-1 - (-2))^2 = (-3)^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10

Pole kwadratu ABCD

P = a^2 = 10

==================

z.3

b = 40 cm  - szerokośc kawalka blachy

R = 20 cm  - długośc promienia większego kółka

r = 10 cm - długość promieni mniejszych kółek

O - środek większego kółka

O1  i   O2  - środki mniejszych kółek

Rozparujemy trójkąt równoramienny O O1 O2, gdzie

I OO1 I = I OO2 I = R + r = 30 cm

oraz I O1 O2 I =  2r = 20 cm

A - punkt styczności mniejszych kółek

h = I OA I

Trójkąt OAO1  jest prostokątny, zatem mamy

h^2 + r^2 = ( R + r)^2

h^2 = 30^2 - 10^2 = 900 - 100 = 800 = 400 *2

zatem

h = 20 p(2)

a  - długość kawałka blachy

Mamy

a = R + h + r = 20 + 20 p(2) + 10 = 30 + 20 p(2)

Odp. a = [ 30 + 20 p(2)] cm

=============================

 

z.4

Dany jest trapez równoramienny ABCD o prostopadłych przekątnych.

a = I AB I = 12 p(2)

b = I CD I = 9 p(2)

c = I AD I = ( BC I

O  - punkt przecięcia się przekatnych.

P1 pole trójkąta prostokątnego ABO

P2 - pole trójkąta prostokątnego CDO

Mamy

P1  - połowa pola kwadratu o przekątnej  a = 12 p(2)

zatem

P1 = (1/2)*(1/2)* a^2 = (1/4)* a^2 = (1/4)*[ 12 p(2)]^2 = (1/4)*144*2 = 72

P1 = 72

=======

P2 - połowa pola kwadratu o przekątnej b = 9 p(2)

zatem

P2 = (1/2)*(1/2)* b^2 = (1/4)*[9 p(2)]^2 = (1/4)*81 *2 = 81/2

P2 = 40,5

========

ale

P1 = (1/2)* a*h1 = (1/2)*12 p(2) * h1 = 6 p(2)*h1

czyli  6 p(2)*h1 = 72 => p(2)*h1 = 12  => h1 = 12/p(2) = 6 p(2)

h1 = 6 p(2)

=========

oraz

P2 = (1/2)*b*h2 = (1/2)* 9 p(2) *h2 = 4,5 p(2) *h2

czyli   4,5 p(2)*h2 = 40,5 => p(2)*h2 = 9 => h2 = 9 /p(2) = 4,5 p(2)

h2 = 4,5 p(2)

==============

Wysokość trapezu

h = h1 + h2 = 6 p(2) + 4,5p(2) = 10,5 p(2)

h = 10,5 p(2)

===========

Pole trapezu ABCD

P = 0,5*[ a +b]*h

P = 0,5*[ 12 p(2) + 9 p(2)]* 10,5 p(2) = 0,5*21 p(2)* 10,5 p(2) =

= 10,5 p(2) * 10,5 p(2) =  2* 10,5^2 = 2 *110,25 = 220,5

P = 220,5

==========

x = [a -b]/2 = [ 12 p(2) - 9 p(2)]/2 = 3 p(2)/2

x = 1,5 p(2)

=========

 

Trójkąt BCO jest prostokątny,zatem

x^2 + h^2 = c^2

[ 1,5 p(2)]^2 + [ 10,5 p(2)]^2 = c^2

c^2 = 2,25*2 + 110,25*2 = 4,5 + 220,5 = 225

zatem  c = p(225) = 14

c = 15

======

Obwód trapezu ABCD

L = a+b + 2*c = 12 p(2) + 9 p(2) + 2*15 = 30 + 21 p(2)

L = 30 + 21 p(2)

================

z.5

cos alfa = 1/3  => sin^2 alfa = 1 - cos^2 alfa = 1 - 1/9 = 8/9

sin alfa = 2 p(2)/3

----------------------

sin beta = 2/3 => cos^2 beta = 1 - sin ^2 beta = 1 - 4/9 = 5/9

cos beta = p(5)/3

------------------

czyli

cos ( alfa - beta) = cos alfa cos beta + sin alfa sin beta =

= (1/3)*[ p(5)/3] + [ 2 p(2) /3]*(2/3) = p(5)/9 + 4p(2)/9 =

= (1/9)*[ p(5) + 4 p(2)]

====================

p(2)  - pierwiastek kwadratowy z 2

p(5) -  pierwiastek kwadratowy z 5

--------------------------------------------------------------------------

z.6

60 : 10 = 6

30 - 6 = 24

Po I godzinie pozostało do przepisania 24 stron

60 : 12 = 5

24 - 5 = 19

Po II  godzinach pozostało do przepisania 19 stron

60 : 15 = 4

19 - 4 = 15

Po III  godzinach pozostało do przepisania 15 stron

Godzinna przerwa

Po IV godzinach pozostało do przepisania 15 stron

60 : 12 = 5

15 - 5 = 10

Po V godzinach pozostało do przepisania 10 stron

60 : 12 = 5

10 - 5 = 5

Po VI  godzinach pozostało  do przepisania 5 stron.

Wykres - zbiór punktów:

W = { (1;24),(2,19),(3; 15),(4;15),(5; 10),(6; 5) }

==============================================

z.7

P = ( -11; - 8 )

5x +2y + 1 = 0

7x + 3y +2 = 0

 

5x + 2y = -1   / *( -3)

7x + 3y = -2   / * 2

-------------------------

-15x - 6y = 3

14x + 6y = - 4

-----------------------  dodajemy stronami

-x = -1

x = 1

======

2y + 5*1 = - 1

2y + 5  =  - 1

2y = -6

y =  -3

Punkt  R = ( 1; -3) jest punktem przecięcia się tych prostych.

Niech  a = I P R I

zatem  a^2 = ( 1 - (-11))^2 + ( -3 - (-8))^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169

a = p ( 169 ) = 13

Odległość między tymi punktami jest równa a = 13.

===============================================

p( 169)  - pierwiastek kwadratowy z 169