Question

POMOCY! zad.1. napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej wiedząc że miejscami zerowymi tej funkcji są liczby 4 i -1, a wykres przechodzi przez A(2,2). zad.2.wyznacz współczynnik a i b trójmianu kwadratowego f(x) = ax^2 + bx + 9, wiedząc że do jego wykresu należy punkt A (1,6) oraz, że pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa 2. dla kajich argumentów funkcja jest malejąca ? zad3.liczbe 50 przedstaw jako różnicę dwóch liczb tak aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

Answer 1

1)  Postać kanoniczna:  y - a(x-p)²+q

    Miejsca zerowe oraz punkt A(2,2)  podstawiam do postaci iloczynowej:

      y = a(x-x₁)(x-x₂),      x₁=4,  x₂= -1 ,    a=?

      2= a(2-4)(2+1)

      2 = a·(-2)·3

      6a = -2    /:6

        a= -⅓

Zatem funkcja w postaci iloczynowej jest nastepująca:

       y = -⅓(x-4)(x+1)

Kilkoma sposobami można znaleźć  potrzebne p i q. Np.:

p = (x₁+x₂)/2 = (4-1)/2 = 3/2

q = f(p) = f(3/2) = -⅓(3/2 -4)(3/2 +1) = -⅓·(-2½)·2½ = -⅓ ·(-5/2)·5/2 = 25/12

Postać kanoniczna jest więc nastepująca:

         y = -⅓(x- 3/2)² + 25/12

2)  f(x) = ax²+bx+9,       a,b = ?

     A(1,6) ,   p=2,     p= -b/2a

    Powstaje układ równań:      { 6 = a + b + 9

                                             { -b/2a = 2     /·(-2a)

                                             {  a+b = -3

                                             {  b = -4a     podstawiam do I równania

                               a - 4a = -3

                                -3a = -3  /:(-3)

                                   a = 1

                             b = -4·1 = -4

Czyli funkcja ma postać:     f(x) = x² -4x + 9

Funkcja jest malejąca dla x ∈ (-∞, p),  czyli dla x ∈ (-∞, 2).

3)  Szukane liczby oznaczam:  x,y.

    WtedY:   x - y = 50     ⇒  y = x-50

        f(x) = x²+ y² = x² + (x-50)² = x²+x² -100x + 2500=  2x² -100x +2500

Wartość najmniejsza tej funkcji jest w wierzchołku  (parabola ma ramiona w górę).

 Zatem  dla  x=p.     p=-b/2a = 100/4= 25

    ymin = 25 - 50 =-25

Odp.  x=25,  y= -25,    czyli    50 = 25 -(-25).